Man multipliziert komplexe Zahlen, indem man ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente addiert:
Für \(\color{red}{z} = r\,(\cos(\color{red}{\phi})+\I\sin(\color{red}{\phi}))\) und \(z' = r'\,(\cos(\phi')+\I\sin(\phi'))\) gilt
\( z' \color{red}{z} \) \( = r'\,(\cos(\phi')+\I\sin(\phi'))\, r\,(\cos(\color{red}{\phi})+\I\sin(\color{red}{\phi})) \) \( = r'r\,(\cos(\phi'+\color{red}{\phi})+\I\sin(\phi'+\color{red}{\phi})) \).
Deswegen potenziert man eine komplexe Zahl, indem man ihren Betrag potenziert und ihr Argument vervielfacht:
Für \(\color{red}{z} = r\,(\cos(\color{red}\phi)+\I\sin(\color{red}\phi))\) und \(\color{blue}n\in\NN\) gilt \( \color{red}{z}^{\color{blue}n} = r^{\color{blue}n}\,(\cos(\color{blue}n\color{red}\phi)+\I\sin(\color{blue}n\color{red}\phi)) \).
In der Skizze können Sie \(\color{red}{z}\) mit der Maus bewegen und \(\color{blue}n\) mit dem Schieberegler unten einstellen. Es werden dann die Potenzen \(\color{red}{z}^k\) für alle natürlichen Zahlen \(k\) mit \(1\leqq k\leqq \color{blue}n\) dargestellt.
Der weiße Kreis ist der Einheitskreis, die Kuchenstücke
deuten den Winkel \(\color{red}{\phi}\) an.
Wenn Sie das Potenzen rückgängig machen wollen, können Sie mal
sehen, wie man Wurzeln zieht
.
Man kann auch versuchen, alle Potenzen einer festen Zahl zu summieren: Das führt auf die entsprechende geometrische Reihe, siehe auch da.
Erzeugt von M. Stroppel mit Hilfe von Cinderella und CindyJS