Sattelfläche als Quadrik:
Die Sattelfläche ist die Quadrik
\(
Q = \left\{x\in\mathbb{R}^3 \mid x_1^2 - x_2^2 + x_3 = 0 \right\}
\);
im Modell dargestellt ist der Ausschnitt \(-1\le x_1,x_2\le 1\).
Manche der bunten Linien entstehen durch Schnitte mit Ebenen.
Zweite Interpretation:
Die Sattelfläche ist der Graph der Funktion
\[
f \colon [-1,1]\times[-1,1]\to\mathbb{R} \colon (x_1,x_2)\mapsto
x_2^2-x_1^2 .
\]
Manche der bunten Linien sind Niveaulinien oder achsenparallele
Schnitte.
Der Kreuzungspunkt der schwarzen Linien ist ein kritischer Punkt der
Funktion: Der Gradient von \(f\) ist dort Null; die
Tangentialebene verläuft waagrecht. Es liegt aber
weder ein Maximum noch ein Minimum vor, sondern
ein
Sattelpunkt.
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