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Kegelschnitte: ebene Schnitte eines Doppelkegels
Der Doppelkegel ist gegeben durch die Gleichung
\[
x_1^2+x_2^2-x_3^2 = 0 ;
\]
dargestellt ist der Bereich
\( -7/2\leqq x_1\leqq 7/2 \),
\( -7/2\leqq x_2\leqq 7/2 \),
\( -7/2\leqq x_3\leqq 7/2 \),
Außerdem sind dargestellt die Ebenen mit den Gleichungen
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\(
x_1+2\,x_3=3
\)
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gelbe Ebene, der Schnitt mit dem Doppelkegel ist eine Ellipse
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\(
x_1-x_3=1
\)
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blaue Ebene, der Schnitt mit dem Doppelkegel ist eine Parabel
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\(
x_1=1
\)
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grüne Ebene, der Schnitt mit dem Doppelkegel ist eine Hyperbel (mit
zwei Ästen).
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In der gelben Ebene sieht man außerdem (grün) eine der Symmetrieachsen der
Ellipse (auf dieser Achse sind die Brennpunkte der Ellipse durch zwei
Bohrungen bezeichnet). In der blauen Ebene sieht man (gelb) die
Symmetrieachse der Parabel (mit einer Bohrung am Brennpunkt).
In der grünen Ebene sind (blau) die Asymptoten der Hyperbel sichtbar.
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Leitfragen:
- Welche Schnittlinien liefert der Doppelkegel jeweils in den drei
Ebenen?
- Was würde passieren, wenn Sie die Ebenen leicht variieren? Wie
ändern sich die Schnittlinien? Welche Lagen der Ebenen sind
kritisch in dem Sinn, dass sich die Schnittfigur qualitativ ändert?
- Welche der folgenden Konfigurationen entstehen als Schnitt des
Doppelkegels mit einer passenden Ebene?
- ein Kreis,
- ein Paar schneidender Geraden,
- ein Paar paralleler Geraden,
- genau eine Gerade,
- ein Punkt,
- die leere Menge.
- Können Sie die ebenen Schnitte durch Gleichungen beschreiben?
Was sind passende Koordinaten für die Ebenen?
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