Powered by MathJax

Eine Sammlung von 3D-Modellen (Objekt # 02)

Alle hier dargestellten 3D-Objekte können Sie durch Ziehen mit Ihrer Maus bewegen!

Kegelschnitte: ebene Schnitte eines Doppelkegels

Der Doppelkegel ist gegeben durch die Gleichung \[ x_1^2+x_2^2-x_3^2 = 0 ; \] dargestellt ist der Bereich \( -7/2\leqq x_1\leqq 7/2 \), \( -7/2\leqq x_2\leqq 7/2 \), \( -7/2\leqq x_3\leqq 7/2 \),

Außerdem sind dargestellt die Ebenen mit den Gleichungen

   
\( x_1+2\,x_3=3 \) gelbe Ebene, der Schnitt mit dem Doppelkegel ist eine Ellipse
\( x_1-x_3=1 \) blaue Ebene, der Schnitt mit dem Doppelkegel ist eine Parabel
\( x_1=1 \) grüne Ebene, der Schnitt mit dem Doppelkegel ist eine Hyperbel (mit zwei Ästen).
In der gelben Ebene sieht man außerdem (grün) eine der Symmetrieachsen der Ellipse (auf dieser Achse sind die Brennpunkte der Ellipse durch zwei Bohrungen bezeichnet). In der blauen Ebene sieht man (gelb) die Symmetrieachse der Parabel (mit einer Bohrung am Brennpunkt). In der grünen Ebene sind (blau) die Asymptoten der Hyperbel sichtbar.

Leitfragen:

  • Welche Schnittlinien liefert der Doppelkegel jeweils in den drei Ebenen?
  • Was würde passieren, wenn Sie die Ebenen leicht variieren? Wie ändern sich die Schnittlinien? Welche Lagen der Ebenen sind kritisch in dem Sinn, dass sich die Schnittfigur qualitativ ändert?
  • Welche der folgenden Konfigurationen entstehen als Schnitt des Doppelkegels mit einer passenden Ebene?
    • ein Kreis,
    • ein Paar schneidender Geraden,
    • ein Paar paralleler Geraden,
    • genau eine Gerade,
    • ein Punkt,
    • die leere Menge.
  • Können Sie die ebenen Schnitte durch Gleichungen beschreiben? Was sind passende Koordinaten für die Ebenen?
Für den Fall, dass Ihr Browser keine x3d-Grafiken verwerten kann, hier noch einige Standbilder (die sich nicht bewegen lassen):

Standbild eines Doppelkegels mit
				  ebenen Schnitten: Seitenansicht Standbild eines Doppelkegels mit
				  ebenen Schnitten: Ellipse Standbild eines Doppelkegels mit
				  ebenen Schnitten: Parabel Standbild eines Doppelkegels mit
				  ebenen Schnitten Hyperbel: Standbild eines Doppelkegels mit
				   ebenen Schnitten: Ellipse und Hyperbel