In Matrix-Schreibweise lautet diese Gleichung
\[
x^{\mathrm{T}}
\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 4 \\
-1 & 4 & -1 \\
4 & -1 & 1
\end{array}\right)
x
+ 2 \, \left(\begin{array}{c}
\tfrac{3\sqrt2-\sqrt6}2 \\ -\sqrt6 \\ -\tfrac{3\sqrt2+\sqrt6}2
\end{array}\right)^{\mathrm{T}}
x
- 6 = 0 \,.
\]
Hauptachsentransformation mit Hilfe der Eigenwerte \(\lambda_1=3\), \(\lambda_2=6\), \(\lambda_3=-3\) und zugehörigen Eigenvektoren \[ f_1 = \frac1{\sqrt6}\left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ 1 \end{array}\right), \quad f_2 = \frac1{\sqrt3}\left(\begin{array}{c} 1\\ -1\\ 1 \end{array}\right), \quad f_3 = \frac1{\sqrt2}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ -1 \end{array}\right) \] führt auf die neue Gleichung \[ 3\,y_1^2 -2(3y_1) + 6\,y_2^2 - 3\,y_3^2 + 2(3y_3) -6 = 0 \] und daraus (nach quadratischer Ergänzung und mit \(z_1=y_1-1\), \(z_2=y_2\) sowie \(z_3=y_3-1\)) \[ 3z_1^2 + 6\,z_2^2 - 3z_3^2 - 6 = 0 \,. \] Nach Division (zur Normierung der Konstanten) erhalten wir die euklidische Normalform: \[ -\frac12 z_1^2 - \,z_2^2 +\frac12 z_3^2 +1 = 0 \,. \] An der letzten Gleichung erkennt man, dass die Quadrik ein einschaliges Hyperboloid ist.
Die neuen Koordinatenachsen haben die Richtungsvektoren
\(f_1\) (gelbe Achsen),
\(f_2\) (grüne Achsen),
\(f_3\) (blaue Achsen);
der neue Ursprung hat den Ortsvektor \(f_1+f_3\) und damit die
Standardkoordinaten
\[
\frac{1}{\sqrt6}
\left(\begin{array}{c}
1+\sqrt3\\
2\\
1-\sqrt3
\end{array}\right)
\,.
\]
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Für den Fall, dass Ihr Browser keine x3d-Grafiken verwerten kann, hier
noch drei Standbilder (die sich nicht bewegen lassen):
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