3D-Modelle #03

Eine Sammlung von 3D-Modellen (Objekt # 03)

Alle hier dargestellten 3D-Objekte können Sie durch Ziehen mit Ihrer Maus bewegen!

INFO: Time for setup and init of GL element no. 0: 19 ms.

INFO: activate ViewpointBindable null/defaultX3DViewpointNode

INFO: register ViewpointBindable null/defaultX3DViewpointNode

INFO: create new Viewpoint for X3DViewpointNode-stack

INFO: activate BackgroundBindable null/defaultX3DBackgroundNode

INFO: register BackgroundBindable null/defaultX3DBackgroundNode

INFO: create new Background for X3DBackgroundNode-stack

INFO: System ready.

INFO: activate NavigationInfoBindable null/defaultX3DNavigationInfoNode

INFO: register NavigationInfoBindable null/defaultX3DNavigationInfoNode

INFO: NavType: undefined

INFO: Switch to examine mode.

INFO: create new NavigationInfo for X3DNavigationInfoNode-stack

INFO: activate EnvironmentBindable null/defaultX3DEnvironmentNode

INFO: register EnvironmentBindable null/defaultX3DEnvironmentNode

INFO: create new Environment for X3DEnvironmentNode-stack

INFO: webgl2 context found Vendor: WebKit Google Inc. (Google), Renderer: WebKit WebGL ANGLE (Google, Vulkan 1.3.0 (SwiftShader Device (LLVM 10.0.0) (0x0000C0DE)), SwiftShader driver), Version: WebGL 2.0 (OpenGL ES 3.0 Chromium), ShadingLangV.: WebGL GLSL ES 3.00 (OpenGL ES GLSL ES 3.0 Chromium), MSAA samples: 4 Extensions: EXT_clip_control, EXT_color_buffer_float, EXT_color_buffer_half_float, EXT_conservative_depth, EXT_depth_clamp, EXT_float_blend, EXT_polygon_offset_clamp, EXT_texture_compression_bptc, EXT_texture_compression_rgtc, EXT_texture_filter_anisotropic, EXT_texture_mirror_clamp_to_edge, EXT_texture_norm16, NV_shader_noperspective_interpolation, OES_draw_buffers_indexed, OES_sample_variables, OES_shader_multisample_interpolation, OES_texture_float_linear, OVR_multiview2, WEBGL_clip_cull_distance, WEBGL_compressed_texture_astc, WEBGL_compressed_texture_etc, WEBGL_compressed_texture_etc1, WEBGL_compressed_texture_s3tc, WEBGL_compressed_texture_s3tc_srgb, WEBGL_debug_renderer_info, WEBGL_debug_shaders, WEBGL_lose_context, WEBGL_multi_draw, WEBGL_polygon_mode, WEBGL_stencil_texturing

INFO: Initializing X3DCanvas for [x3dom-Quadrik-canvas]

INFO: Creating canvas for (X)3D element...

INFO: Found 1 X3D and nodes...

INFO: X3DOM 1.8.2, Build: 7298, Revison: e56cf6f97388aa9b4de35156fadfeba9889f6972, Date: Sun Jun 13 10:59:46 2021 +0200

Hauptachsentransformation einer Quadrik (Hyperboloid):

Die Quadrik mit der Gleichung $\begin{array}{lcl} x_{1}^{2} + 4 x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + 8 x_{1} x_{3} - 2 x_{2} x_{3} \\ + (3 \sqrt{2} - \sqrt{6}) x_{1} - 2 \sqrt{6} x_{2} - (3 \sqrt{2} + \sqrt{6}) x_{3} & = & 6 . \end{array}$

Im Bild sieht man die Achsen des Standard-Koordinatensystems:
Die $x_{1}$ -Achse ist weiß, die $x_{2}$ -Achse ist grau, die $x_{3}$ -Achse ist schwarz.

Außerdem sind die neuen Achsen farbig dargestellt, die man bei der Hauptachsen-Transformation benutzt.

Die farbigen Ebenen sind die Symmetrie-Ebenen der Quadrik.

Die Darstellung beschränkt sich auf die Teile der geometrischen Objekte, die im Innern des zu den Standard-Achsen parallelen, am Ursprung zentrierten Würfels mit Kantenlänge $5$ liegen.

In Matrix-Schreibweise lautet diese Gleichung

x^{T} (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 4 \\ - 1 & 4 & - 1 \\ 4 & - 1 & 1 \end{array}) x + 2 {(\begin{matrix} \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{2} \\ - \sqrt{6} \\ - \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} \end{matrix})}^{T} x - 6 = 0 .

Hauptachsentransformation mit Hilfe der Eigenwerte $λ_{1} = 3$ , $λ_{2} = 6$ , $λ_{3} = - 3$ und zugehörigen Eigenvektoren $f_{1} = \frac{1}{\sqrt{6}} (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}), f_{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}), f_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})$ führt auf die neue Gleichung $3 y_{1}^{2} - 2 (3 y_{1}) + 6 y_{2}^{2} - 3 y_{3}^{2} + 2 (3 y_{3}) - 6 = 0$ und daraus (nach quadratischer Ergänzung und mit $z_{1} = y_{1} - 1$ , $z_{2} = y_{2}$ sowie $z_{3} = y_{3} - 1$ ) $3 z_{1}^{2} + 6 z_{2}^{2} - 3 z_{3}^{2} - 6 = 0 .$ Nach Division (zur Normierung der Konstanten) erhalten wir die euklidische Normalform: $- \frac{1}{2} z_{1}^{2} - z_{2}^{2} + \frac{1}{2} z_{3}^{2} + 1 = 0 .$

An der letzten Gleichung erkennt man, dass die Quadrik ein einschaliges Hyperboloid ist.

Die neuen Koordinatenachsen haben die Richtungsvektoren $f_{1}$ (gelbe Achsen), $f_{2}$ (grüne Achsen), $f_{3}$ (blaue Achsen); der neue Ursprung hat den Ortsvektor $f_{1} + f_{3}$ und damit die Standardkoordinaten $\frac{1}{\sqrt{6}} (\begin{matrix} 1 + \sqrt{3} \\ 2 \\ 1 - \sqrt{3} \end{matrix}) .$
Dieser neue Ursprung liegt in allen drei (farbigen) Symmetrie-Ebenen der Quadrik, und die Achsen des dritten Koordinatensystems liegen ebenfalls in jeweils zwei von diesen Ebenen (und stehen auf der dritten orthogonal).

Für den Fall, dass Ihr Browser keine x3d-Grafiken verwerten kann, hier noch drei Standbilder (die sich nicht bewegen lassen):