Eine Sammlung von 3D-Modellen (Objekt # 04)

Außerdem sind auf der Ober- und Unterseite verschiedenfarbige Schnittlinien gegeben: Bei den grünen und blauen Linien handelt es sich um Niveaumengen, drei weitere Linien zeigen jeweils den Schnitt des Funktionsgraphen mit den Ebenen \(x=y\) (magenta), \(x=6y\) (türkis) und \(6x=y\) (orange).

Leitfragen:

• Sei \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\subseteq \mathbb{R}\) eine Nullfolge, d.h. \(\lim\limits_{n\to \infty } a_n =0\). Was ergibt sich dann für den Grenzwert \(\lim\limits_{n\to \infty} f\binom{a_n}{a_n}\) ?
• Was liefert der Grenzwert \(\lim\limits_{\binom xy\to \binom00}f\binom xy\) bei Annäherung auf einer beliebigen Geraden?
• Was sind die Niveaumengen \(\left\{ \binom xy\in \mathbb{R}^2 \left| f\binom xy=c \right.\right\}\) zu den Niveaus \(c\in \left\{ -1,-\frac13, 0, \frac12, 1 \right\}\) ?
• Ist \(f\) stetig in \( \binom00\)? Warum bzw. warum nicht?
• Existieren die partiellen Ableitungen von \(f\) im Ursprung? Berechnen Sie zu beliebigem \(v\in \mathbb{R}^2\) mit \(\Vert v \Vert =1\) die Richtungsableitung \[ \partial_v f\binom00 = \lim\limits_{h\to 0}\frac{f(hv)-f\binom00}{h} \] mit Hilfe des Differenzenquotienten.
• Ist \(f\) in \(\binom00\) stetig partiell differenzierbar? Existiert eine Tangentialebene an den Graphen von \(f\) im Punkt \(\left(\scriptstyle\matrix{0\\0\\0}\right)\) ?