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Eine Sammlung von 3D-Modellen (Objekt # 07)

Alle hier dargestellten 3D-Objekte können Sie durch Ziehen mit Ihrer Maus bewegen!

Wendelfläche (keine Rotation, und doch kein Potential):

Die Wendelfläche ist in gelb gegeben als Graph der Funktion \[ \textstyle p\colon \mathbb{R}^2 \setminus \left\{\binom00\right\} \rightarrow \mathbb{R}\colon \binom {x_1}{x_2} \mapsto \left\{ \begin{array}{rl} 0, &\text{für } x_1 = 0 \text{ und } x_2 < 0,\\ \arctan\left(\frac{x_2}{x_1}\right) + \frac{\pi}{2}, &\text{für } x_1 > 0,\\ \pi, &\text{für } x_1 = 0 \text{ und } x_2 > 0,\\ \arctan\left(\frac{x_2}{x_1}\right) + \frac{3\pi}{2}, &\text{für } x_1 < 0; \end{array} \right. \] Dargestellt ist der Bereich über der Kreisfläche um den Ursprung mit Radius \(\pi\), also über der Menge \( \left\{\left.\binom {x_1}{x_2}\in\mathbb{R}^2 \right|\, x_1^2 + x_2^2 \leq \pi^2\right\} \). Ebenfalls im Modell enthalten ist (als die grüne Fläche) der Graph der Funktion \[\textstyle q\colon \left\{\left.\binom {x_1}{x_2}\in\mathbb{R}^2 \right|\, x_1 < 0 \right\} \rightarrow \mathbb{R}\colon \binom {x_1}{x_2} \mapsto \arctan\left(\frac{x_2}{x_1}\right) + \frac{\pi}{2}. \] Weiter finden sich auf diesen Flächen Projektionen eines Kreises, einer Geraden, eines Dreiecks und eines Kreisflächenausschnitts.

Der Kreis ist konkret \(K = \left\{\left.\binom {x_1}{x_2}\in\mathbb{R}^2 \right|\, x_1^2+x_2^2=4 \right\}\) und die Gerade die Menge \( G = \left\{\left.\binom {x_1}{x_2}\in\mathbb{R}^2 \right|\, x_1=-\sqrt{3}x_2 \right\}\). Das Dreieck hat die Eckpunkte \(\binom{-3}{0}\), \(\binom{-1}{-1}\) und \(\binom{-2}{-2}\). Für den Kreisflächenausschnitt gibt es die äußeren Eckpunkte \(\binom{3\cos(\frac{\pi}{6})}{3\sin(\frac{\pi}{6})}\) und \(\binom{3\cos(\frac{\pi}{3})}{3\sin(\frac{\pi}{3})}\) sowie die inneren Eckpunkte \(\binom{\cos(\frac{\pi}{6})}{\sin(\frac{\pi}{6})}\) und \(\binom{\cos(\frac{\pi}{3})}{\sin(\frac{\pi}{3})}\), die Kreise haben dabei den Mittelpunkt im Ursprung.

Leitfragen:

  • Wie parametrisiert man die Kreislinie, das Dreieck oder den Rand des Kreisflächenausschnitts?
  • Welchen Wert hat das Kurvenintegral \(\int_Bg(x)\bullet\mathrm{d}{x}\) über das Vektorfeld \( g\binom{x_1}{x_2} = \frac{1}{x_1^2+x_2^2} \binom{-x_2}{x_1} \) entlang des Kreises (\(B=K\)), des Rands des Dreiecks oder des Rands des Kreisflächenausschnitts?
  • Kann man zu der Berechnung der Integrale \(p\) bzw. \(q\) verwenden?
  • Berechnen Sie \(\mathrm{rot}(g)\). Ist \(g\) ein Gradientenfeld? Ist \(p\) oder \(q\) ein Potential von \(g\)?
  • Woran erkennt man im Modell, dass \(p\) kein Potential von \(g\) ist?
  • Welche Werte nimmt die Funktion \(p\) entlang einer beliebigen Ursprungsgeraden an?
    (Den Ursprung selbst muss man ausnehmen, da dort \(p\) nicht definiert ist.)

Für den Fall, dass Ihr Browser keine x3d-Grafiken verwerten kann, hier noch drei Standbilder (die sich nicht bewegen lassen):

Standbild: Wendelfläche Standbild: Wendelfläche Standbild: Wendelfläche

Schnitt der Wendelfläche mit einem (Doppel-)Kegel:

Wir schneiden den Graphen der Funktion \(p\) mit dem Doppelkegel, der beschrieben wird durch die Gleichung \[ x_1^2 + x_2^2 = x_3^2 . \] Auf der Schnittlinie zeichnen wir durch die zusätzliche Bedingung \[ \frac{\pi^2}4 \leqq x_1^2+x_2^2 \leqq \pi^2 \] eine Kurve \(S\) aus.

In der (beweglichen) Darstellung links sieht man den Graphen von \(p\) (gelb, wie oben), einen Ausschnitt des Doppelkegels (orange) und die Kurve \(S\) (als dünne weiße Linie).

Die Kurve \(S\) ist also die Menge \[ S = \left\{\left. \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} \in\mathbb{R}^3 \right|\, x_3 = p\pmatrix{x_1\\x_2},\; \pi^2/4 \le x_1^2+x_2^2\le\pi^2,\; x_1^2+x_2^2=x_3^2\right\} . \]

Eine Parametrisierung der Kurve \(S\) kann man gewinnen, indem man zuerst Polarkoordinaten für den Punkt \(\binom{x_1}{x_2}\) im Definitionsbereich von \(p\) ansetzt, also (mit \(\varphi\in[0,2\pi)\) und \(r>0\)): \[ \pmatrix{x_1\\x_2} = \pmatrix{r\cos(\varphi)\\r\sin(\varphi)} \,, \text{ also } \pmatrix{x_1\\x_2\\x_3} = \pmatrix{r\cos(\varphi)\\r\sin(\varphi)\\p\binom{r\cos(\varphi)}{r\sin(\varphi)}} \,. \] Da die Funktion \(p\) keine negativen Werte annimmt, liefert die Bedingung \(x_1^2+x_2^2=x_3^2\) [Punkt auf dem Doppelkegel] jetzt zuerst \(x_3 = r\) und dann für \(x_3=p\binom{r\cos(\varphi)}{r\sin(\varphi)}\) im halboffenen Intervall \(\left[\frac\pi2,\pi\right)\) : \[ r = p\binom{r\cos(\varphi)}{r\sin{\varphi}} = \arctan\left(\frac{r\sin(\varphi)}{r\cos(\varphi)}\right) + \frac\pi2 = \arctan(\tan(\varphi))+ \frac\pi2 = \varphi + \frac\pi2 \,. \] Wegen der Bedingung \(\pi^2/4 \le x_1^2+x_2^2\le\pi^2\) bleibt für weitere Punkte in \(S\) nur noch \(x_3=\pi\) und dort dann \(\varphi=\frac\pi2\), also ebenfalls \(r = x_3 = \pi = \varphi+\frac\pi2\).

Wir verwenden den Parameter \(\varphi \in \left[0,\frac\pi2\right]\) und erhalten für die Kurve \(S\) die Parametrisierung \[ C \colon \left[0,{\textstyle\frac\pi2}\right] \to \mathbb{R}^3 \colon \varphi \mapsto \pmatrix{ (\varphi+\frac\pi2)\cos(\varphi)\\ (\varphi+\frac\pi2)\sin(\varphi)\\ \varphi+\frac\pi2} \,. \] Anfangs- und Endpunkt der Kurve \(S\) sind also \[ A = C(0) = \pmatrix{\frac\pi2\\0\\\frac\pi2} \ \text{ und } \ B = C({\textstyle\frac\pi2}) = \pmatrix{0\\\pi\\\pi} \,. \]

Für den Fall, dass Ihr Browser keine x3d-Grafiken verwerten kann, hier auch noch drei Standbilder vom Schnitt der Wendelfäche mit dem Doppelkegel (die sich nicht bewegen lassen):

Standbild: Wendelfläche Standbild: Wendelfläche Standbild: Wendelfläche