Eine Sammlung von 3D-Modellen (Objekt # 09)

Alle hier dargestellten 3D-Objekte können Sie durch Ziehen mit Ihrer Maus bewegen!

Niveaumengen, kritische Stellen, lokale Extrema:

Die Fläche im Sandkasten ist ein Ausschnitt aus dem Graphen der Funktion \[ f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \colon \binom xy \mapsto x\,(x-3)\,(x+3)\,(y-2)\,(y+2)\,(x^2+2y^2-4) \,. \] Dargestellt ist der Bereich über dem achsenparallen Rechteck \([-3,3]\times[-2,2]\).

Die schwarzen Linien bilden die Nullstellenmenge (also die Niveaumenge zum Niveau 0).

Die Färbung (rot/grün) auf der Unterseite gibt die Vorzeichenverteilung der Funktion \(f\) wieder (also die Verteilung der Vorzeichen der Funktionswerte).

Die blauen Linien (die die weißen Kappen nach unten begrenzen) bilden den Schnitt des Funktionsgraphen mit einer horizontalen Ebene; diese Linien liegen also genau über Niveaulinien zum entsprechenden Niveau.

Man kann die kritischen Stellen (also die Stellen \(\binom xy\), an denen die Tangentialebene an den Graph der Funktion horizontal liegt und damit der Gradient \(\nabla f\binom xy\) Null wird) durch Berechnung des Gradienten und eine (eventuell aufwendige) Fallunterscheidung finden.

Wenn man die Nullstellenmenge kennt (hier die schwarzen Linien), fallen mehrere Kandidaten für kritische Stellen sofort ins Auge: Wo immer sich Niveaulinien kreuzen, muss eine kritische Stelle liegen. Die Vorzeichenverteilung kann dann helfen, ohne Rechnung den Typ einer solchen kritischen Stelle zu erkennen: Zum Beispiel wird an den Kreuzungen der schwarzen Ellipse mit der schwarzen Achse aus der Vorzeichenverteilung unmittelbar klar, dass hier Sattelpunkte vorliegen.

Eine Verfeinerung des Arguments lässt uns auch die kritische Stelle am Kreuzungspunkt der blauen Linien als Sattelpunkt erkennen.

Die Nullstellenmenge zerlegt den Definitionsbereich in mehrere zusammenhängenden Gebiete, die wir Komponenten nennen. In keiner dieser Komponenten wird sich das Vorzeichen des Funktionswertes ändern (beim Übergang über eine (hier schwarze) Trennlinie kann sich das Vorzeichen ändern oder - je nach Funktion - auch gleich bleiben). Von der Unterseite her betrachtet, haben diese Komponenten deswegen immer einheitliche Farbe.

Die betrachtete Funktion ist stetig und nimmt deswegen auf jedem kompakten Gebiet sowohl ein Maximum als auch ein Minimum an. Innerhalb jeder beschränkten Komponente von roter Farbe wird also wenigstens ein (lokales) Minimum, innerhalb jeder beschränkten Komponente von grüner Farbe wenigstens ein (lokales) Maximum liegen. Diese lokalen Extrema liegen an weiteren, bisher nicht direkt gesehenen Stellen.

Vorsicht: Innerhalb einer Komponente können auch mehrere kritische Stellen liegen (im vorliegenden Modell gibt es zwei Komponenten mit je drei kritischen Stellen).

Leitfragen:

Bestimmen Sie die Nullstellenmenge \(N_0 := \left\{\binom xy\in\mathbb{R}^2 \mid f\binom xy =0 \right\}\).
Bestimmen Sie die Vorzeichenverteilung von \(f\) in \(\mathbb{R}^2\setminus N_0\).
An welchen Stellen können Sie bereits auf Grund der Vorzeichenverteilung sicher sein, dass ein Sattelpunkt von \(f\) vorliegt?
In welchen Bereichen sichert der Satz vom Minimum und Maximum lokale Maxima bzw. lokale Minima? Sind diese eindeutig bestimmt?
Die blau eingezeichnete Linien bezeichnen eine Niveaumenge. Was lehrt uns diese über kritische Stellen?
Finden Sie alle kritischen Stellen, d.h. alle Nullstellen des Gradienten \(\nabla{f}\binom xy\).
(Dies erfordert saubere Fallunterscheidung, und bedeutet dadurch einiges an Aufwand.)
Entscheiden Sie an jeder kritischen Stelle, welchen Typ diese hat (lokales Maximum, lokales Minimum, Sattelpunkt).
Ändern sich die kritischen Stellen, wenn man statt \(f\) die Funktion \( q \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \colon \binom xy \mapsto \left(f\binom xy\right)^2 \) betrachtet?
Wie ändert sich der Typ der kritischen Stellen?

Für den Fall, dass Ihr Browser keine x3d-Grafiken verwerten kann, hier noch drei Standbilder (die sich nicht bewegen lassen):