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Man kann die kritischen Stellen (also die Stellen Wenn man die Nullstellenmenge kennt (hier die schwarzen Linien), fallen mehrere Kandidaten für kritische Stellen sofort ins Auge: Wo immer sich Niveaulinien kreuzen, muss eine kritische Stelle liegen. Die Vorzeichenverteilung kann dann helfen, ohne Rechnung den Typ einer solchen kritischen Stelle zu erkennen: Zum Beispiel wird an den Kreuzungen der schwarzen Ellipse mit der schwarzen Achse aus der Vorzeichenverteilung unmittelbar klar, dass hier Sattelpunkte vorliegen. Eine Verfeinerung des Arguments lässt uns auch die kritische Stelle am Kreuzungspunkt der blauen Linien als Sattelpunkt erkennen. Die Nullstellenmenge zerlegt den Definitionsbereich in mehrere zusammenhängenden Gebiete, die wir Komponenten nennen. In keiner dieser Komponenten wird sich das Vorzeichen des Funktionswertes ändern (beim Übergang über eine (hier schwarze) Trennlinie kann sich das Vorzeichen ändern oder - je nach Funktion - auch gleich bleiben). Von der Unterseite her betrachtet, haben diese Komponenten deswegen immer einheitliche Farbe. Die betrachtete Funktion ist stetig und nimmt deswegen auf jedem kompakten Gebiet sowohl ein Maximum als auch ein Minimum an. Innerhalb jeder beschränkten Komponente von roter Farbe wird also wenigstens ein (lokales) Minimum, innerhalb jeder beschränkten Komponente von grüner Farbe wenigstens ein (lokales) Maximum liegen. Diese lokalen Extrema liegen an weiteren, bisher nicht direkt gesehenen Stellen. Vorsicht: Innerhalb einer Komponente können auch mehrere kritische Stellen liegen (im vorliegenden Modell gibt es zwei Komponenten mit je drei kritischen Stellen). |
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Leitfragen:
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Für den Fall, dass Ihr Browser keine x3d-Grafiken verwerten kann, hier noch drei Standbilder (die sich nicht bewegen lassen):
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