Eine Sammlung von 3D-Modellen (Objekt # 10)

Alle hier dargestellten 3D-Objekte können Sie durch Ziehen mit Ihrer Maus bewegen!

Affensattel: Vorzeichenverteilung, Gradient, steilster Abstieg

Die gekrümmte Oberfläche im Modell ist ein Ausschnitt aus dem Graphen der Funktion \[ f \colon \mathbb{R}^2 \setminus \left\{\binom00\right\} \rightarrow \mathbb{R}\colon \binom{x_1}{x_2} \mapsto x_1^{}x_2^2-\tfrac12x_1^3 \,. \] Dargestellt ist der Bereich über der Kreisfläche um den Ursprung mit Radius \(\frac65\), also über der Menge \[\left\{\left.\binom{x_1}{x_2}\in\mathbb{R}^2 \right| x_1^2 + x_2^2 \leq \frac{36}{25}\right\} \, . \] Auf der Unterseite ist die Vorzeichenverteilung von \(f\) farbig angedeutet. Die \(x_1\)-Achse ist blau (und sehr dick) markiert; die Nullstellenmenge (darin die \(x_2\)-Achse) besteht aus drei Ursprungsgeraden (in grau).

Die farbigen Linien auf dem Graphen stellen den Funktionsverlauf über Kurven "entlang des Gradientenfeldes" im Definitionsbereich dar, bei denen die Tangente in jedem Punkt parallel zum Gradienten \(\nabla f\) an dieser Stelle liegt.

Die benutzten Kurven werden parametrisiert durch die folgenden Abbildungen, wobei \(h_\gamma(t) := \sqrt{\frac17\left(2\,t^4+\frac\gamma3 t^{-3}\right)}\): \[ \begin{array}{rllcrll} C_{\text{dunkelgrün}}\colon & t \mapsto & \displaystyle t\binom{1}{0} &\qquad& C_{\text{orange}}\colon & t \mapsto & \displaystyle \binom{h_1(t)}{t^2} \\[2ex] C_{\text{rot}}\colon & t \mapsto & \displaystyle t\binom{1}{\sqrt{7/2}} &\qquad& C_{\text{gelb}}\colon & t \mapsto & \displaystyle \binom{h_2(t)}{t^2} \\[2ex] C_{\text{purpur}}\colon & t \mapsto & \displaystyle t\binom{1}{-\sqrt{7/2}} &\qquad& C_{\text{grün}}\colon & t \mapsto & \displaystyle \binom{-h_1(t)}{t^2} \,.\\[2ex] \end{array} \] Die bunten Linien selbst sind dann parametrisiert durch \[ L(t) = \left( \begin{matrix} B_1(t) \\ B_2(t) \\ f\binom{B_1(t)}{B_2(t)} \end{matrix} \right) \] (für \(B(t)=\binom{B_1(t)}{B_2(t)}\) mit \(B\in \{ C_{\text{dunkelgrün}}, C_{\text{purpur}}, C_{\text{rot}}, C_{\text{orange}}, C_{\text{gelb}}, C_{\text{grün}} \}\)).

Leitfragen:

In welche Richtung zeigt die positive Hälfte der \(x_1\)-Achse?
Bestimmen Sie die Nullstellenmenge \(N_0 := \left\{\left.\binom{x_1}{x_2}\right|\,f\binom{x_1}{x_2}=0\right\}\).
Bestimmen Sie die Vorzeichenverteilung von \(f\) in der Menge \(\mathbb{R}^2\setminus N_0\).
Welche Sattelpunkte von \(f\) kann man allein aus \(N_0\) und der Vorzeichenverteilung erkennen?
Gibt es noch andere kritische Stellen?
Hilft die Hessematrix \(\mathrm{H}f\) von \(f\) bei der Entscheidung, welchen Typ eine kritische Stelle von \(f\) hat?
Verifizieren Sie an Hand der gegebenen Parametrisierungen, dass die farbigen Linien die genannte Eigenschaft haben, also auf dem Funktionsgraph über Kurven "entlang des Gradientenfeldes" verlaufen.
Kann es durch eine fest gegebene Stelle im Definitionsbereich mehrere Kurven "`entlang des Gradientenfeldes"' geben?
Gibt es solche Stellen bei der hier vorgelegten Funktion?
Gibt es außer den durch \(B\in \{ C_{\text{dunkelgrün}}, C_{\text{purpur}}, C_{\text{rot}} \}\) parametrisierten Kurven noch weitere Kurven "entlang des Gradientenfeldes", die an jeder Stelle genau auf den Ursprung zu laufen?

Für den Fall, dass Ihr Browser keine x3d-Grafiken verwerten kann, hier noch drei Standbilder (die sich nicht bewegen lassen):