Eine Sammlung von 3D-Modellen (Objekt # 11)

Alle hier dargestellten 3D-Objekte können Sie durch Ziehen mit Ihrer Maus bewegen!

Ebenen:

In Standardkoordinaten sind folgende Ebenen(-Gleichungen) gegeben: \[\begin{array}{rclc} 2x_1+3x_2-6x_3&=&7 & \text{ rot } \\ 20x_1 -5x_2 -4x_3 &=&21 & \text{ grün } \text{ (rot gespiegelt an blau) }\\ x_1-x_2-2x_3 &=& 0 & \text{ gelb }\\ x_1-x_2+x_3 &=& 0 & \text{ blau } \text{ (orthogonal zu gelb) }\\ x_1-x_2-(8+3\sqrt 6)x_3&=&0& \text{hellblau} \\ &&& \left( \begin{array}{c} \text{gelb gedreht um }\pi/6 \\ \text{blau gedreht um }2\pi/3 %\frac{ \pi}{6}\\ %\frac{2\pi}{3} \end{array} \quad\text{ um } \mathbb{R}\left( \begin{smallmatrix} 1\\1\\0\end{smallmatrix} \right) \right) \end{array}\] Im Modell dargestellt ist der Ausschnitt \(-10\leqq x_1\leqq 10, -10\leqq x_2\leqq 10, -10\leqq x_3\leqq 10 \).

Außerdem sind auf der roten und grünen Ebene Hände erkennbar. Die grüne Hand verdeutlicht die Orthonormalbasis \(B \colon b_1 := \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{smallmatrix} 1\\ 0\\-1\end{smallmatrix}\right) , b_2 := \frac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{smallmatrix}-1\\-2\\-1\end{smallmatrix}\right) , b_3 := \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{smallmatrix}-1\\ 1\\-1\end{smallmatrix}\right) \).
Die rote Hand ist das Spiegelbild der grünen Hand bezüglich der blauen Ebene.

Leitfragen:

Ist durch die gegebene Information festgelegt, welche Seite des Modells die Ober- und welche die Unterseite ist?
Drehen Sie das Modell um \(\pi\) um die \(x_1\)-Achse (oder \(x_2\)/\(x_3\)-Achse) und geben Sie die Gleichung der gedrehten roten (grünen/gelben/blauen/hellblauen) Ebene an.
Kann die grüne Hand auch durch Drehung in die rote Hand überführt werden?
Ist \(B\) ein Rechtssystem? Falls ja, dann geht \(B\) durch Drehung aus der Standardbasis hervor. Geben Sie dann eine geeignete Drehmatrix an.
Spiegeln Sie die Basis \(B\) an der blauen Ebene. Ist das Ergebnis wieder eine Orthonormalbasis? Ist diese ein Rechtssystem oder ein Linkssystem?
Können Sie die Ebenenschnitte durch Gleichungen beschreiben?
Die blaue und die gelbe Ebene sind orthogonal zu einander. Um welchen Winkel muss die gelbe Ebene um ihre Schnittgerade mit der blauen Ebene gedreht werden, um die hellblaue Ebene zu erhalten?

Für den Fall, dass Ihr Browser keine x3d-Grafiken verwerten kann, hier noch fünf Standbilder (die sich nicht bewegen lassen):