Eigenvektoren bei linearen Abbildungen

In den folgenden Darstellungen wird jedes Mal eine lineare Abbildung (beschrieben jeweils durch eine Matrix $A$ , $B$ , $C$ oder $D$ ) veranschaulicht. Einerseits zeigen wir einen (schwarzen) Vektor $v$ und seinen gelben Bild-Vektor, andererseits ist auch jeweils ein hellgrünes Dreieck samt seinem dunkelgrünen Bild zu sehen. Der von $v$ aufgespannte eindimensionale Unterraum ist durch eine sehr breite graue Gerade angedeutet.

Sie können mit der Maus den schwarzen Vektor $v$ bewegen (fassen Sie ihn dazu ganz an der Spitze an): Dabei bewegt sich der Bildvektor mit.

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Spiegelung kombiniert mit Streckung (zwei verschiedene reelle Eigenwerte)

Der schwarze Vektor $v$ wird auf den gelben Vektor $A v$ abgebildet, indem er an der dünnen roten Linie gespiegelt und dann auch noch mit dem Faktor $\frac{1}{2}$ multipliziert wird.

Dies ist eine lineare Abbildung; in einem Koordinatensystem, dessen Achsen durch die rote und die blaue Gerade gebildet werden, wird diese Abbildung durch eine Diagonalmatrix mit Diagonaleinträgen $\frac{1}{2}$ und $- \frac{1}{2}$ beschrieben; nämlich dem Produkt

$A = (\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{1}{2} \end{array})$ $= (\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{array}) (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array})$ .

Wenn man den schwarzen Vektor so dreht, dass er auf die rote Linie zu liegen kommt, fällt auch der Bildvektor $A v$ in diese Linie. Er zeigt dann in die gleiche Richtung wie der schwarze, ist aber nur halb so lang: Wir haben damit einen Eigenvektor zum Eigenwert $\frac{1}{2}$ gefunden. Auch durch Streckung des Vektors $v$ ändert sich nichts an dieser Beziehung (so lange Sie die Richtung beibehalten).

Bewegt man den Vektor $v$ auf die blaue Gerade, so fällt der Bildvektor $A v$ wieder in die von $v$ aufgespannte Gerade, zeigt aber in die umgekehrte Richtung: Jetzt ist $v$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $- \frac{1}{2}$ .

Sie können die rote Gerade ebenfalls bewegen (mit Hilfe des dicken Punkts).

Dass hier jeder Eigenvektor zum Eigenwert $\frac{1}{2}$ auf jedem Eigenvektor zum Eigenwert $- \frac{1}{2}$ senkrecht steht, ist ein Zufall (in der Tat eine Folge der Tatsache, dass die Matrix $A$ symmetrisch ist).

Projektion (also eine nicht bijektive Abbildung: ein Eigenwert ist Null)

Das folgende Beispiel zeigt eine Abbildung, die $v$ den Vektor $B v$ zuordnet (für eine geeignete Matrix $B$ , siehe unten).

Hier wird $v$ entlang der grünen Richtung auf die rote Gerade projiziert (Sie können diese Richtungen beide ändern - mit Hilfe der dicken Punkte).

Finden Sie die Richtungen, in die Eigenvektoren zeigen?

Vektoren, die entlang der roten Geraden zeigen, werden bei der Projektion überhaupt nicht verändert:
Das sind Eigenvektoren zum Eigenwert 1.

Vektoren, die genau entlang der Projektionsrichtung zeigen, sind Eigenvektoren zum Eigenwert 0:
Solche Vektoren werden auf den Nullvektor abgebildet (das ist schwer zu sehen und etwas tüftelig einzustellen).

Wir geben einige Matrix-Beispiele für solche Projektionen:

$B = (\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})$
(Wenn die grüne und die rote Gerade die erste bzw. zweite Achse eines kartesischen Koordinatensystems bilden).
$B = (\begin{matrix} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{matrix}) (\begin{array}{cc} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \end{array})$ $= (\begin{array}{cc} \frac{9}{25} & \frac{12}{25} \\ \frac{12}{25} & \frac{16}{25} \end{array})$
(Wenn die rote Gerade aufgespannt wird durch den Vektor $u = (\begin{matrix} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{matrix})$ , und die grüne Gerade zur roten senkrecht steht).
$B = (\begin{array}{cc} 5 & - 2 \\ 10 & - 4 \end{array})$
(Hier wird die rote Gerade aufgespannt durch $(\binom{1}{2})$ und die grüne durch $(\binom{2}{5})$ ; diese Geraden stehen nicht senkrecht zueinander).

Es gibt viele weitere Beispiele für $2 \times 2$ -Matrizen mit Eigenwerten $0$ und $1$ . In der Tat sind das genau diejenigen Matrizen $(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ , bei denen $a + d = 1$ und $a d - b c = 0$ gilt.

In anderen Worten: Die Spur $Sp (B)$ und Determinante $det (B)$ von $B$ müssen die Bedingungen $Sp (B) = 1$ und $det (B) = 0$ erfüllen. Dies kann (mit der Einheitsmatrix $E_{2}$ ) auch so formuliert werden:

Das charakteristische Polynom $det (B - λ E_{2})$ von $B$ ist gleich $λ^{2} - λ$ .

Scherung (unterschiedliche algebraische und geometrische Vielfachheit)

Nicht bei jeder linearen Abbildung treten Eigenvektoren mit verschiedenen Richtungen auf:

Hier wird $v$ parallel zur roten Richtung geschert (Sie können die rote Richtung und das Ausmaß der Scherung ändern - mit Hilfe der dicken Punkte).

Finden Sie die Richtungen, in die Eigenvektoren zeigen?

Vektoren, die entlang der roten Geraden zeigen, werden bei der Scherung überhaupt nicht verändert:
Das sind Eigenvektoren zum Eigenwert 1.

Andere Eigenvektoren gibt es in diesem Fall nicht!

Zu den Matrizen, die solche Scherungen beschreiben, gehören

$C = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{array})$ (die rote Gerade ist hier die zweite Koordinatenachse).
$C = (\begin{array}{cc} - 1 & 2 \\ - 2 & 3 \end{array})$
(Die rote Gerade wird aufgespannt durch $(\binom{1}{1})$ .)

Die charakteristische Eigenschaft der Matrizen, die Scherungen beschreiben, ist die Tatsache, dass sie den Eigenwert $1$ mit algebraischer Vielfachheit $2$ haben, während die geometrische Vielfachheit nur $1$ ist.

Es gibt viele weitere Beispiele für $2 \times 2$ -Matrizen mit dieser Eigenschaft. In der Tat sind das genau diejenigen Matrizen $(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ , die nicht diagonal sind (d.h. mindestens einer der Einträge $b$ , $c$ ist von Null verschieden) mit $a + d = 2$ und $a d - b c = 1$ .

In anderen Worten: Die Spur $Sp (C)$ und Determinante $det (C)$ müssen die Bedingungen $Sp (C) = 2$ und $det (C) = 1$ erfüllen (und die Matrix ist nicht diagonalisierbar - das bedeutet jetzt einfach, dass $C$ verschieden von der Einheitsmatrix $E_{2}$ ist). Dies kann auch wie folgt formuliert werden:

Das charakteristische Polynom $det (C - λ E_{2})$ von $C$ ist gleich $λ^{2} - 2 λ + 1 = (λ - 1)^{2}$ ; aber $C \neq E_{2}$ .

Drehung (keine reellen Eigenwerte)

Schließlich noch ein Beispiel einer linearen Abbildung, die gar keine (reellen) Eigenwerte hat:

Wir drehen $v$ (und Sie können den Drehwinkel ändern - mit Hilfe des dicken grünen Punkts).

Finden Sie einen Drehwinkel, zu dem es dann doch Eigenvektoren gibt?

In ihrer Anfangskonfiguration zeigt die Zeichnung eine Drehung um $60^{\circ}$ (im Bogenmaß also $\frac{π}{3}$ ) gegen den Uhrzeigersinn. Diese Drehung wird beschrieben durch die Matrix

$D = (\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{- \sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{array})$ .

Das charakteristische Polynom ist $det (D - λ E_{2}) = λ^{2} - λ + 1$ ; als Eigenwerte finden wir $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ und $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ .

Es gibt viele weitere Beispiele von $2 \times 2$ -Matrizen ohne reelle Eigenwerte. In der Tat sind das genau diejenigen Matrizen $D = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ , bei denen die charakteristische Gleichung $0 = det (D - λ E_{2})$ $= λ^{2} - (a + d) λ + (a d - b c)$ keine Lösung im Bereich der reellen Zahlen hat.

Dies geschieht genau dann, wenn die Diskriminante $(a + d)^{2} - 4 (a d - b c)$ negativ ist; also dann, wenn $(a - d)^{2} < - 4 b c$ .

(Für die Drehung der Anfangskonfiguration haben wir $a = d$ und $b c < 0$ , damit ist die Bedingung erfüllt.)

Erzeugt von M. Stroppel mit Hilfe von Cinderella und CindyJS

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