Wurzelziehen bei komplexen Zahlen (in Polarkoordinaten)

Man multipliziert komplexe Zahlen, indem man ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente addiert:

Für   \(\color{red}{z} = r\,(\cos(\phi)+\I\sin(\phi))\) und   \(w = s\,(\cos(\psi)+\I\sin(\psi))\)   gilt  

\( w z \) \( = s\,(\cos(\psi)+\I\sin(\psi))\, r\,(\cos(\phi)+\I\sin(\phi)) \) \( = sr\,(\cos(\psi+\phi)+\I\sin(\psi+\phi)) \).

Deswegen potenziert man eine komplexe Zahl, indem man ihren Betrag potenziert und ihr Argument vervielfacht:

Für   \(w = s\,(\cos(\psi)+\I\sin(\psi))\)   und   \(\color{blue}n\in\NN\)   gilt   \( w^{\color{blue}n} = s^{\color{blue}n}\,(\cos(\color{blue}n\psi)+\I\sin(\color{blue}n\psi)) \).

Wenn man nun die Gleichung \(w^{\color{blue}n} = \color{red}{z}\) lösen will (also alle \(n\)-ten Wurzeln aus \(\color{red}{z}\) sucht), setzt man an:

\(|w|^{\color{blue}n} = |w^{\color{blue}n}| = |\color{red}{z}|\), also \(s=|w|=\sqrt[\color{blue}n]{r}\)   und

\({\color{blue}n}\psi = \phi+k\,2\pi\) mit \(k\in\ZZ\)   [wegen der Periodizität der Winkelfunktionen liefert ja jeder Winkel \(\phi+k\,2\pi\) mit \(k\in\ZZ\) dieselbe Richtung].

Also ergeben sich für \(\psi\) die Lösungen \(\frac1{\color{blue}n}\phi+k\frac{2\pi}{\color{blue}n}\) mit \(k\in\ZZ\) und für die Gleichung \(w^{\color{blue}n} = \color{red}{z}\) damit die Lösungen

\(w_k = \sqrt[\color{blue}n]{r}\bigl(\cos(\frac1{\color{blue}n}\phi+k\frac{2\pi}{\color{blue}n})+\I\,\sin(\frac1{\color{blue}n}\phi+k\frac{2\pi}{\color{blue}n})\bigr)\) mit \(k\in\ZZ\);

dabei genügt es, für \(k\) die ganzen Zahlen mit \(0\leqq k\lt n\) zu durchlaufen, weil sich außerhalb dieses Intervalls dieselben Lösungen wiederholen   [wieder wegen der Periodizität der Winkelfunktionen].

In der Skizze können Sie  \(\color{red}{z}\)  mit der Maus bewegen und \(\color{blue}n\) mit dem Schieberegler unten einstellen. Es werden dann die Lösungen \(w_k\) für alle natürlichen Zahlen \(k\) mit \(0\leqq k\lt \color{blue}n\) dargestellt. Außerdem ist die Teilung des Winkels \(\phi\) in \({\color{blue}n}\) gleiche Teile angedeutet.

(Der weiße Kreis ist der Einheitskreis.)

Erzeugt von M. Stroppel mit Hilfe von Cinderella und CindyJS