Eine natürlich vorkommende unstetige Funktion:
Wurzelziehen in komplexen Zahlen

Die Skizze zeigt in der komplexen Zahlenebene (mit der reellen Achse, der imaginären Achse und dem Einheitskreis zur Orientierung) eine komplexe Zahl \(z\) sowie die beiden Lösungen \(w\) und \(u\) der Gleichung \(X^2 = z\).
(Diese Lösungen findet man mit Hilfe von Polarkoordinaten.)

Sie können den blauen Punkt \(z\) bewegen, die Lösungen bewegen sich dann mit.

Wollte man auf der Menge \(\Bbb{C}\) aller komplexen Zahlen eine Wurzelfunktion \(f\colon\Bbb{C}\to\Bbb{C}\) definieren, die für jede komplexe Zahl jeweils eine der beiden Lösungen auswählt, so müsste man in Kauf nehmen, dass diese Abbildung \(f\) unstetig wird.

Eine Kandidatin für eine solche Funktion besteht darin, immer die Lösung auszuwählen, die in der oberen Halbebene liegt (also nicht negativen Imaginärteil hat) und außerdem in den Fällen, in denen die Lösungen beide reell sind, wie üblich die nicht negative zu nehmen.

Das Applet veranschaulicht, dass diese Wahl der Funktion \(f\) unstetig ist. Fahren Sie etwa mit dem Punkt einmal gegen den Uhrzeigersinn um den Nullpunkt herum, so bewegt sich dabei die Lösung \(w\) mit, bleibt dabei eine Weile in der oberen Halbebene und wandert dann in die untere. Wenn dies passiert, springt unsere Auswahl der Lösung von \(w\) auf \(u\), weil dann plötzlich \(u\) in der oberen Halbebene liegt.

Das Applet zeigt nicht, dass keine Wurzelfunktion stetig ist - dazu brauchen Sie eine Mathematikerin.

Sie können übrigens auch die Skalierung an der schwarzen Strecke links oben einstellen (verschieben Sie das weiße Ende).

Erzeugt von M. Stroppel mit Hilfe von Cinderella und CindyJS