\( \def\pause{} \def\,{\kern.2em} \def\implies{\Longrightarrow} \newcommand{\alert}[1]{\color{red}{#1}} \def\ds{\displaystyle} \let\epsilon\varepsilon \let\subseteq\subseteqq \let\supseteq\supseteqq \let\setminus\smallsetminus \let\le\leqq \let\leq\leqq \let\ge\geqq \let\geq\geqq \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \renewcommand{\limsup}{\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}} \renewcommand{\liminf}{\mathop{\underline{\mathrm{lim}}}} \newcommand{\redlimsup}{\mathop{\color{red}{\overline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\redliminf}{\mathop{\color{red}{\underline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\konv}[1][]{\mathbin{\mathop{\longrightarrow}\limits_{#1}}} \newcommand{\bigset}[2]{\left\{{#1}\left|\strut \vphantom{#1}\vphantom{#2}\right.\, {#2}\right\}} \newcommand{\set}[2]{\left\{\smash{#1}\left|% \vphantom{\smash{#1}}\vphantom{\smash{#2}}\right.\,\smash{#2}\right\}} \newcommand{\E}{\mathrm{e}} \newcommand{\I}{\mathrm{i}} \newcommand{\diff}{\mathop{\mathrm{\kern0pt d}}} \newcommand{\diffAt}[3]{\frac{\diff}{\diff{#2}}\,\left.{\vphantom{\frac00}#1}\,\right|_{#2=#3}} \newcommand{\partAt}[3]{\frac{\partial}{\partial{#2}}\,\left.{\vphantom{\frac00}#1}\,\right|_{#2=#3}} \newcommand{\diffgleich}{\mathbin{\,\mathop{=}\limits^{\,\prime}}\,} \newcommand{\grad}{\mathop{\mathrm{grad}}} \newcommand{\Jac}[2]{\mathrm{J}{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\Hesse}[2]{\mathrm{H}{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\Hesso}[1]{\mathrm{H}{#1}} \newcommand{\transp}{^{^{\scriptstyle\intercal}}} \newcommand{\inn}[1]{{#1}^\circ} \newcommand{\Cf}[2]{\mathcal C^{#1}(#2)} \newcommand{\skalp}{\mathbin{\scriptstyle\bullet}} \newcommand{\Div}{\operatorname{div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{rot}} \)

5.2. Rotation und Divergenz

Wir haben in 5.1.5 die Bedingung (¡!) als notwendig (und unter der Voraussetzung eines einfach zusammenhängenden Definitionsgebiets auch als hinreichend) für die Existenz eines Potentials erkannt.

Die als Nächstes definierte Rotation ist (für Felder in höchstens drei Variablen) eine Größe, die noch mehr Information enthält:

5.2.1. Definitionen.

Es sei \( D\subseteq\RR^n \) offen, und \( g\colon D\to\RR^n \) ein stetig differenzierbares Vektorfeld.

  1. Unter der Divergenz von \(g\) an der Stelle \( a=(a_1^{},\ldots,a_n^{})\transp \) versteht man

    \( \alert{\Div g(a)} \) \( := \) \( \sum\limits_{j=1}^n \frac{\partial}{\partial x_j^{}}\, g_j^{}(a) \) \( = (g_1^{})_{x_1^{}}(a) + \cdots + (g_n^{})_{x_n^{}}(a) \).

  2. Im Fall \(n=3\) nennt man

    \( \alert{\Rot g(a)} \) \( := \) \( \left( \begin{array}{ccc} \dfrac{\partial g_3^{}}{\partial y}(a) &-& \dfrac{\partial g_2^{}}{\partial z}(a) \\[2ex] \dfrac{\partial g_1^{}}{\partial z}(a) &-& \dfrac{\partial g_3^{}}{\partial x}(a) \\[2ex] \dfrac{\partial g_2^{}}{\partial x}(a) &-& \dfrac{\partial g_1^{}}{\partial y}(a) \end{array} \right) \)

    die Rotation von \(g\) an der Stelle \(a\).

Die Divergenz liefert eine skalare Funktion \( \Div g\colon D\to\RR\colon{}\pause a \mapsto \Div g(a) \).

Dagegen liefert die Rotation ein Vektorfeld \( \Rot g\colon D\to\RR^3\colon{}\pause a\mapsto \Rot g(a) \).

5.2.2. Beispiel.

Das Vektorfeld

\( g\colon\RR^3\to\RR^3\colon{} \) \( \left( \begin{array}{c}x\\y\\z \end{array}\right) \mapsto \left( \begin{array}{c} -y \\\pause x\,z \\\pause z^2 \end{array}\right) \)

hat die Divergenz \( \Div g\left( \begin{smallmatrix} x\\y\\z \end{smallmatrix} \right) \) \( = \) \( 0+0+2\,z \) \( = 2\,z \) und die Rotation \( \Rot g\left( \begin{smallmatrix} x\\y\\z \end{smallmatrix} \right) = \pause \left( \begin{array}{c} -x \\\pause 0 \\\pause z + 1 \end{array}\right) \).

5.2.3. Spezialfall.

Jedes ebene Vektorfeld \( g\colon D\to\RR^2 \) kann man in ein dreidimensionales Vektorfeld einbetten via

\( \tilde g\colon D\times\RR \to\RR^3 \colon{} \) \( \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right) \mapsto \left( \begin{array}{c} g_1^{} \binom xy \\ g_2^{} \binom xy \\ 0 \end{array}\right) \).

Dann ergibt sich \( \Rot\tilde g\left( \begin{smallmatrix} x\\y\\z \end{smallmatrix} \right) \) \( = \left( \begin{array}{c} 0 \\\pause 0 \\\pause \frac{\partial g_2^{}}{\partial x} \binom xy - \frac{\partial g_1^{}}{\partial y} \binom xy \end{array}\right) \).

Man schreibt kurz

\( \alert{\Rot g \binom xy} \pause := \frac{\partial g_2^{}}{\partial x} \binom xy - \frac{\partial g_1^{}}{\partial y} \binom xy \).

Die hier eingeführte Rotation eines ebenen Vektorfeldes ist also eine skalare Größe.

Mit Hilfe des Begriffs der Rotation können wir unseren Satz 5.1.5 folgendermaßen formulieren:

5.2.4. Satz.

Besitzt das räumliche (oder ebene) Vektorfeld \(g\) ein Potential, so gilt \( \Rot g(a)=0 \) für alle \(a\) im Definitionsbereich \(D\).

Wenn \(D\) einfach zusammenhängend ist, ist die Existenz eines Potentials äquivalent zum Verschwinden der Rotation.

Wenn das Potential existiert, kann man es wie in den oben besprochenen Beispielen bestimmen:
durch Integration mit geeigneten Integrationskonstanten und Vergleich der Ableitungen mit den Komponenten des Gradientenfeldes.

Es gibt auch andere Möglichkeiten: Man kann das Potential auch durch geeignete Kurvenintegrale bestimmen, vgl. 5.3.17.

5.2.5. Bemerkungen.

Wir haben bereits angedeutet, dass man mit Vektorfeldern den Fluss eines Gases oder einer Flüssigkeit modellieren kann.

  1. Man kann die Divergenz als Maß des Flusses nach außen (pro Volumen- und Zeiteinheit, also als Quellstärke) auffassen, die Rotation als ein Maß für die Wirbelbildung.
  2. Man nennt ein Vektorfeld quellenfrei, wenn \( \Div g=0 \) ist, und wirbelfrei, wenn \( \Rot g=0 \) gilt.

Vorsicht: Es gibt auch Felder, in denen offensichtliche Wirbel auftreten, die sich aber nicht in der Rotation bemerkbar machen. Ein Beispiel für ein solches Feld diskutieren wir in 5.3.15, vgl. auch 5.5.5.

5.2.6. Schreibweisen und Merkregeln.

Schreibt man

\( \nabla := \left( \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x_1^{}} \\ \frac{\partial}{\partial x_2^{}} \\ \frac{\partial}{\partial x_3^{}} \end{array}\right) \)

dann schreibt sich formal

\( \Div g = \) \( \nabla\skalp g \) \(=\) \( \left(\frac{\partial}{\partial x_1^{}} \,,\, \frac{\partial}{\partial x_2^{}} \,,\, \frac{\partial}{\partial x_3^{}}\right) \left( \begin{array}{c} g_1^{}\\g_2^{}\\g_3^{} \end{array}\right) \)

Vorsicht: Formale Schreibweisen wie diese sind nur Hilfen, um sich die Definition zu merken, man kann mit diesen Schreibweisen nicht rechnen!

Zum Rechnen muss man diese Operatoren erst an Funktionen auswerten.

5.2.7. Definition.

Der Operator

\( \alert{\Delta} := \) \( \nabla\skalp\nabla \) \( = \left(\frac{\partial}{\partial x_1^{}}\right)^2 + \cdots + \left(\frac{\partial}{\partial x_n^{}}\right)^2 \)

heißt Laplace-Operator.

Auch diese formale Schreibweise müssen wir zunächst einmal richtig interpretieren:

Dieser Operator ordnet jeder Funktion \( f\in\Cf2D \) eine reellwertige Funktion zu, nämlich

\( \Delta f\colon{} D\to\RR\colon{} \) \( a\mapsto \Delta(f)(a) := \) \( f_{x_1^{}\,x_1^{}}(a) + f_{x_2^{}\,x_2^{}}(a) + \cdots + f_{x_n^{}\,x_n^{}}(a) \).

Eine Funktion heißt harmonisch, wenn \( \Delta f \) die Nullfunktion ist.

5.2.8. Lemma.

Für jede zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion \(f\) gilt \( \Div\, \grad f = \Delta f \) und \( \Rot\,\grad f = 0 \).

Die zweite Gleichung hat nur bei maximal drei Variablen einen Sinn.

Für jedes zweimal stetig differenzierbare dreidimensionale Vektorfeld \(g\) gilt \( \Div\,\Rot g = 0 \).

Beweis (als Fingerübung zum Rechnen).

Wir berechnen

\( \Div\,\grad f(a) \) \( =\Div\left( \begin{array}{c} f_{x_1^{}}(a) \\ \vdots\\\pause f_{x_n^{}}(a) \end{array}\right) \) \( = f_{x_1^{}\,x_1^{}}(a) + \cdots + f_{x_n^{}\,x_n^{}}(a) \) \( = \Delta f(a) \)

und

\( \Div\,\Rot g(a) \) \( = \) \( \Div\left( \begin{array}{c} (g_3^{})_y^{}{(a)} - (g_2^{})_z^{}{(a)} \\ (g_1^{})_z^{}{(a)} - (g_3^{})_x^{}{(a)} \\ (g_2^{})_x^{}{(a)} - (g_1^{})_y^{}{(a)} \end{array}\right) \)

\( = \bigl( (g_3^{})_{y\,x}^{} - (g_2^{})_{z\,x}^{} \) \( + (g_1^{})_{z\,y}^{} - (g_3^{})_{x\,y}^{} \) \( + (g_2^{})_{x\,z}^{} - (g_1^{})_{y\,z}^{} \bigr)(a) \)

\( = \bigl( (g_3^{})_{\color{red} x\,y}^{} - (g_2^{})_{\color{green} z\,x}^{} \) \( + (g_1^{})_{\color{blue} y\,z}^{} - (g_3^{})_{\color{red} x\,y}^{} \) \( + (g_2^{})_{\color{green} z\,x}^{} - (g_1^{})_{\color{blue} y\,z}^{} \bigr)(a) \) \( = 0 \).

Hier haben wir den Satz von Schwarz 4.3.10 (und damit die Stetigkeit der zweiten partiellen Ableitungen) verwendet.

Es bleibt noch \( \Rot\,\grad f = 0 \) nachzuweisen:

Dies folgt sofort daraus, dass \(f\) ein Potential zu \( \grad f \) ist.