Sekanten und Tangente an einer Hyperbel

Die gelbe und die grüne Gerade sind Sekanten des (roten) Graphs einer Funktion \(f\) (man darf hier an \(f(x)=1/x\) denken - der Graph ist dann eine Hyperbel).
So eine Sekante entsteht durch Verbinden des Punkts \((x_0,y_0)\) auf dem Graphen (also mit \(y_0=f(x_0)\)) mit einem zweiten Punkt \((x,y)\) auf dem Graphen (also mit \(y=f(x)\)) - sie darf auch noch mehr Punkte des Graphen enthalten (was sie bei der hier betrachteten Funktion aber nicht tut).

Die blaue Gerade ist die Tangente an den Graphen im Punkt \((x_0,y_0)\); sie entsteht als Grenzlage aus den Sekanten durch Approximation (für \(x \to x_0\)).

Sie können \(x\) mit der Maus verschieben (und damit die Approximation versuchen), ebenso \(x_0\) oder den grünen Punkt. Verschieben des roten Punktes ändert die Hyperbel.

Die Steigung der Tangente im Punkt \((x_0,y_0)\) ist die Ableitung \(f'(x_0)\) der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\).


Inzwischen sind übrigens noch andere - ausgefuchstere - Seiten zu diesem Thema entstanden: siehe Sekanten zur Approximation von Tangenten, Knicke und Sprünge, wildes Gezappel ...


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