HM (Analysis) 3.5

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3.5. Geometrische Interpretation des Integrals

3.5.1. Definition.

Es sei $[a, b]$ ein Intervall und $P = {x_{0}^{}, \dots, x_{n}^{}}$ eine Partition dieses Intervalls:

Es gelte also $a = x_{0}^{} < x_{1}^{} < \dots < x_{n}^{} = b$ .

Für jede beschränkte Funktion $f : [a, b] \to R$ setzen wir

$I_{k} := inf {f (x) | x \in [x_{k - 1}^{}, x_{k}]}$ ,

$S_{k} := sup {f (x) | x \in [x_{k - 1}^{}, x_{k}]}$ .

Dann heißt

$\underset{―}{S} (f, P)$ $:= \sum_{k = 1}^{n} I_{k} \cdot (x_{k}^{} - x_{k - 1}^{})$ Untersumme von $f$ zur Partition $P$ , und

$\overset{―}{S} (f, P)$ $:= \sum_{k = 1}^{n} S_{k} \cdot (x_{k}^{} - x_{k - 1}^{})$ heißt Obersumme von $f$ zur Partition $P$ .

Für eine stetige Funktion $f$ mit $f (x) ≧ 0$ für alle $x \in [a, b]$ gilt für die Fläche $F$ zwischen der $x$ -Achse und dem Graph von $f$ :

$\underset{―}{S} (f, P) ≦ F ≦ \overset{―}{S} (f, P)$ .

Interaktives Extra.

In der folgenden Skizze sehen Sie eine Ober- und eine Untersumme für die Funktion $f : [1, 13] \to R : x \mapsto \frac{4 \sin (x)}{x^{2}} + 2$ .

Die Teilungspunkte der dabei benutzten Partition $P = {x_{0}, x_{1}, \dots, x_{7}}$ des Definitionsintervalls können Sie interaktiv verändern; dabei ändern sich die Ober- und Untersumme mit.

Je nach Funktion $f$ und benutzter Partition $P$ ist der Unterschied zwischen Unter- und Obersumme beträchtlich.

Man versucht, diesen Unterschied durch Verfeinern der Partition zu verkleinern:

3.5.2. Definition.

Eine Partition $Q = {y_{0}^{}, \dots, y_{ℓ}^{}}$ eines Intervalls heißt Verfeinerung der Partition $P = {x_{0}^{}, \dots, x_{n}^{}}$ desselben Intervalls, wenn $P ⫅ Q$ gilt,

wenn also jeder Teilungspunkt in $P$ auch einer in $Q$ ist.

Die Feinheit der Partition $P$ ist $max {x_{k}^{} - x_{k - 1}^{} | 1 ≦ k ≦ n}$ .

Wir hoffen, dass $\underset{―}{S} (f, P)$ und $\overset{―}{S} (f, P)$ gegen das Maß der Fläche $F$ konvergieren, wenn die Feinheit von $P$ gegen $0$ strebt.

Bei diesen Überlegungen gehen wir aus von einem anschaulichen Begriff der Fläche
— mathematisch exakt wird die Fläche eben als Grenzwert der Unter- und Obersummen definiert!
Um die Konvergenz gegen die Fläche zu sichern, betrachtet man die Annäherung von unten und von oben: wenn beide Wege zum selben Grenzwert führen, nennen wir diesen die Fläche.

Die Konvergenz der Unter- und Obersummen wird jeweils gesichert durch:

3.5.3. Lemma.

Sei $f : [a, b] \to R$ eine beschränkte Funktion, und seien $P$ und $Q$ Partitionen des Intervalls $[a, b]$ .

Ist $Q$ eine Verfeinerung von $P$ , so gilt
$\underset{―}{S} (f, Q) ≧ \underset{―}{S} (f, P)$ und $\overset{―}{S} (f, Q) ≦ \overset{―}{S} (f, P)$ .
Auf jeden Fall gilt $\underset{―}{S} (f, Q) ≦ \overset{―}{S} (f, P)$ .

Bei Verfeinerung der Partition wachsen also die Untersummen und fallen die Obersummen, während sie sich gegenseitig beschränken:

Nach dem Satz von Bolzano und Weierstraß 1.6.5 konvergieren beide.

3.5.4. Definition.

Für jede beschränkte Funktion $f : [a, b] \to R$ setzen wir

$\underset{―}{S} :=$ $sup {\underset{―}{S} (f, P) | P Partition von [a, b]}$ ,

$\overset{―}{S} :=$ $inf {\overset{―}{S} (f, P) | P Partition von [a, b]}$ .

Man nennt $f$ Riemann-integrierbar, wenn $\underset{―}{S} = \overset{―}{S}$ gilt.

In diesem Fall heißt der Wert $\underset{―}{S}$ das Riemann-Integral über $f$ von $a$ bis $b$ .

Das Riemann-Integral ist eine reelle Zahl.

Man schreibt dann auch $\int_{a}^{b} f (x) d x$ für diesen Wert.

Dass wir dieselbe Schreibweise wie beim bestimmten Integral benutzen, lässt sich natürlich nur rechtfertigen, wenn die verschiedenen Definitionen dasselbe liefern:
Dies sichert der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 3.6.3.

3.5.5. Satz.

Es sei $f : [a, b] \to R$ eine Funktion.

Ist $f$ monoton und beschränkt, so ist $f$ Riemann-integrierbar.
Ist $f$ stetig, so ist $f$ Riemann-integrierbar.
[Die Beschränktheit folgt nach Weierstraß 1.13.12.]

Etwas allgemeiner gilt:

Ist $f$ beschränkt und stückweise monoton
(d.h. es gibt eine Partition des Intervalls so, dass $f$ auf jedem Teilintervall monoton ist),
so ist $f$ Riemann-integrierbar.
Ist $f$ beschränkt und stückweise stetig
(dann hat $f$ nur endlich viele Sprungstellen im Intervall),
so ist $f$ Riemann-integrierbar.

3.5.6. Beispiel.

Wir definieren die Funktion

$q : [0, 1] \to R : x \mapsto {\begin{cases} 1 & falls x \in Q, \\ 0 & sonst. \end{cases}$

Diese Funktion ist nicht Riemann-integrierbar.

3.5.7. Linearität und Monotonie des Riemann-Integrals.

Die Funktionen $f, g : [a, b] \to R$ seien Riemann-integrierbar.

Für alle $α, β \in R$ gilt:
$\int_{a}^{b} (α f (x) + β g (x)) d x$ $= α \int_{a}^{b} f (x) d x + β \int_{a}^{b} g (x) d x .$
Gilt $f (x) ≦ g (x)$ für alle $x \in [a, b]$ , so gilt auch:
$\int_{a}^{b} f (x) d x ≦ \int_{a}^{b} g (x) d x$ .
Die Funktion $| f | : [a, b] \to R : x \mapsto | f (x) |$ ist Riemann-integrierbar, es gilt:
$| \int_{a}^{b} f (x) d x | ≦ \int_{a}^{b} | f (x) | d x$

(Integral-Variante der Dreiecksungleichung).

3.5.8. Produkte und Quotienten.

Mit $f$ und $g$ ist auch das Produkt $f \cdot g$ Riemann-integrierbar.
Gilt $inf {| g (x) | | x \in [a, b]} > 0$ , so ist mit $f$ und $g$ auch der Quotient $f / g$ Riemann-integrierbar.
Die positive untere Schranke an $| g |$ brauchen wir, damit der Quotient $f / g$ beschränkt bleibt.

3.5.9. Integrale über Teilintervalle.

Für jede Riemann-integrierbare Funktion $f : [a, b] \to R$ und jede Stelle $z \in (a, b)$ sind auch die Einschränkungen von $f$ auf die Intervalle $[a, z]$ und $[z, b]$ Riemann-integrierbar, und es gilt

$\int_{a}^{b} f (x) d x$ $= \int_{a}^{z} f (x) d x + \int_{z}^{b} f (x) d x$ .

Die Funktion $f$ ist damit auf jedem Teilintervall von $[a, b]$ Riemann-integrierbar.

3.5.10. Bemerkungen.

Neben dem Riemann-Integral gibt es weitere Integralbegriffe wie etwa das Lebesgue-Integral oder das Riemann-Stieltjes-Integral.