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Unsere Definition des Riemann-Integrals setzt mindestens voraus, dass die zu integrierende Funktion beschränkt und auch in den Randpunkten des Integrationsintervalls definiert ist.
Wir wollen die Frage der Existenz von Integralen diskutieren, bei denen diese Voraussetzungen nicht erfüllt sind.
Insbesondere sollen auch Integrationsintervalle der Form
Dabei kann man am offenen Ende des Intervalls auch
Es sei
Die Funktion
Dann heißt
existiert (als reelle Zahl!).
Erinnerung:
bedeutet,
dass wir das Grenzverhalten untersuchen, wenn
— man könnte auch
schreiben.
Man schreibt dann
Analog definiert man für
— man könnte auch
schreiben.
Für
Man setzt dann
Unsere Voraussetzung, dass
Das uneigentliche Integral
Es gilt
Die Funktion
Das uneigentliche Integral
Um dies einzusehen, muss man
Wir wählen
Aus Symmetriegründen liefert das linke uneigentliche Integral denselben Grenzwert, und wir erhalten
Die Funktion
Es gelte
Aus der Existenz von
Jetzt sei
Wenn
Man kann das Majoranten-Kriterium damit auch so zusammenfassen:
Die Funktion
Gilt
Das Majoranten-Kriterium für uneigentliche Integrale gilt völlig analog bezüglich eines links
halboffenen Intervalls
Das uneigentliche Integral
Für
Für
Für
Für den letzten Fall
Das uneigentliche Integral
Man substituiert
Mit
Nach 3.7.8
konvergiert unser uneigentliches Integral genau dann,
wenn
Die Beispiele 3.7.8 und 3.7.9 liefern oft brauchbare konvergente Majoranten bzw. divergente Minoranten.
Für alle
Das Integral
Nach dem Majoranten-Kriterium 3.7.5.3 konvergiert auch das Integral
Die Funktionen
Im Fall
(aber evtl. verschiedene Grenzwerte).
Im Fall
Diese Aussagen gelten analog für links halboffene Intervalle.
Sei zuerst
Folglich gilt
Das Majoranten-Kriterium 3.7.5 liefert nun
Also konvergiert das Integral über
Jetzt betrachten wir den Fall
Zu
also
Aus dem Majoranten-Kriterium 3.7.5 folgt nun
Unsere Stetigkeitsvoraussetzung sichert die Existenz von
Damit folgt die Behauptung.
Das Integral
Man zerlegt das Integral in
und benutzt
Das Grenzwertkriterium 3.7.11 sagt, dass
Nach 3.7.9 existiert also
Das Integral
Für
Das Grenzwertkriterium und 3.7.8 liefern die Konvergenz.
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Obwohl die Graphen für
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Für
eine reelle Zahl definiert, wir erhalten damit eine Funktion
Diese Gamma-Funktion ist eine (leicht verschobene) Fortsetzung der Fakultät:
Es gilt
Allgemein erfüllt die
[Das sieht man durch partielle Integration.]
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