Eine Folge in
\(
\RR^n
\)
ordnet wieder jeder natürlichen Zahl
\(
k\in\NN
\)
ein Folgenglied
\(
a_k
\)
zu:
Es ist jetzt aber
\(
a_k = (a_{k1},a_{k2},\ldots,a_{kn})\transp
\)
\(
= \left(\begin{array}{c} a_{k1}\\a_{k2}\\\vdots\\a_{kn} \end{array}\right)
\in\RR^n
\).
Man sollte die Nummer \(k\) des Folgenglieds nicht mit den Indizes
der Komponenten verwechseln!
Konvergenz von Folgen in
\(
\RR^n
\)
definiert man wieder über Umgebungen
\(
U_\epsilon(a)
\)
\(
:=
\)
\(
\bigset{x\in\RR^n}{|x-a| \lt \epsilon}
\),
dabei bezeichnet
\(
|x| =\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}
\)
die euklidische Länge des Vektors
\(
x\in\RR^n
\).
Für \(n = 3\) sind diese Umgebungen offene Kugeln (der Rand
\(
\alert{\partial U_\epsilon(a)}
\)
\(
:=
\bigset{x\in\RR^n}{|x-a| \alert{=} \epsilon}
\)
gehört nicht dazu!),
für \(n = 2\) offene Kreisscheiben,
für \(n = 1\) offene Intervalle.
4.2.2. Definition.
Eine Folge
\(
(a_k)_{k\in\NN}
\)
in
\(
\RR^n
\)
konvergiert gegen
\(
z\in\RR^n
\), wenn gilt:
genau dann gegen \(0\) konvergiert,
wenn jede der Folgen
\(
( a_{kj}-z_j)_{k\in\NN}
\)
gegen \(0\) konvergiert.
4.2.4. Beispiele.
Die durch
\(
a_k:=\left(
\begin{array}{c}
k^{1/k}\\\sqrt{k+1}-\sqrt k
\end{array}
\right)
\)
definierte Folge
\(
(a_k)_{k\in\NN}
\)
ist konvergent, es gilt
Die durch
\(
b_k:=\left(
\begin{array}{c}
1/k\\\sin k
\end{array}
\right)
\)
definierte Folge
\(
(b_k)_{k\in\NN}
\)
ist divergent,
weil die zweite Komponentenfolge nicht konvergiert.
Genau wie im eindimensionalen Fall gilt allgemein:
4.2.5. Konvergenzkriterium von Cauchy.
Eine Folge
\(
(a_k)_{k\in\NN}\)
in
\(
\RR^n
\)
konvergiert genau dann, wenn sie eine
Cauchy-Folge ist, wenn also gilt:
Die Funktion \(f\) heißt stetig auf \(D\), falls sie in jedem Punkt von \(D\)
stetig ist.
4.2.7. Lemma.
Es sei
\(
D\subseteq\RR^n
\)
und
\(
x_0^{}\in D
\).
Eine Funktion
\(
f\colon D\to\RR^k
\)
ist genau dann stetig in \(x_0\), wenn für jede gegen \(x_0\) konvergente Folge
\(
(x_j)_{j\in\NN}
\)
in \(D\)
die Folge
\(
\bigl(f(x_j)\bigr)_{j\in\NN}
\)
der Funktionswerte gegen
\(
f(x_0^{})
\)
konvergiert.
Wie im eindimensionalen Fall gilt:
4.2.8. Satz.
Summen, Produkte, Quotienten (soweit definiert) von
reellwertigen stetigen Funktionen sind wieder stetig.
Für vektorwertige Funktionen kann man immerhin noch Summen
und skalare Vielfache bilden.
In jedem Fall sind Kompositionen stetiger Funktionen wieder
stetig.
Hier ist
\(
J\subset \NN_0^n
\)
eine endliche Menge von Multi-Indizes
\(
\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)
\),
und
\(
x^\alpha:=x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}
\).
Mit der Schreibweise
\(
|\alpha|=\sum_{j=1}^n\alpha_j
\)
kann man auch über alle
\(
\alpha
\)
mit
\(
|\alpha|\le \alert{N}
\)
summieren;
hier ist
\(
\alert{N=\max\bigset{|\alpha|}{\alpha\in J, a_\alpha\ne0}}
\)
der Totalgrad des Polynoms.
Es sei
\(
\Gamma :=
\bigset{
\binom{x}{\sin(1/x)} }{x>0}
\)
\(
\subseteq\RR^2
\)
der Graph der Funktion
\(
f \colon (0,+\infty)\to\RR\colon
\)
\(
x \mapsto \sin(\frac1x)
\).
Dann gilt
\(
\color{blue}{\bigset{\binom0y}{-1\le y\le1}}
\)
\(
\subseteq \partial\Gamma
\).
Einen Eindruck von einigen ausgewählten gegen Null konvergenten Folgen
\((x_k)_{k\in\NN}\) (mit \(x\in\{a,b,c,d,u,v\}\)) und das
Verhalten der Folge \(\bigl(f(x_k)\bigr)_{k\in\NN}\) der zugehörigen
Funktionswerte können Sie sich hier interaktiv erspielen:
besteht aus den (im folgenden Bild hellblau angedeuteten)
Punkten außerhalb der Ellipse
\(
E:=
\)
\(
\bigset{\binom xy\in\RR^2}{\tfrac14\kern2pt x^2+y^2=1}
\)
zusammen mit den isolierten Punkten
\(
\binom{-1}{0}
\),
\(
\binom00
\)
und
\(
\binom10
\).
Die Punkte \(\binom{-2}{0}\), \(\binom20\), \(\binom01\) und
\(\binom0{-1}\) sind Randpunkte,
außerdem sind auch die isolierten Punkte
\(
\binom{-1}{0}
\),
\(
\binom00
\)
und
\(
\binom10
\) Randpunkte.
Alle anderen Punkte von \(M\) sind innere Punkte.
Außerdem sind alle Punkte der Ellipse \(E\) Randpunkte von \(M\)
(die meisten von diesen gehören nicht selbst zur Menge \(M\)).
Ein extremes Beispiel:
Für \(M := \QQ^n\)
(also die Menge aller Punkte mit rationalen Koordinaten
in \(\RR^n\)) gilt
\(
\Bar M=\RR^n
\)
und
\(
\inn M=\emptyset
\).
Zur Veranschaulichung ein furchtbar ärnstes Video:
Da der Begriff kompakt einerseits sehr wichtig ist,
andererseits aber erfahrungsgemäß nur langsam in Köpfe eindringt,
auch dazu noch eine leicht boshafte Veranschaulichung:
Der angedeutete Dozent ist sicher beschränkt; wir fragen uns, ob er
kompakt sei:
Dazu wäre zu klären, ob die vom Dozenten eingenommene Teilmenge
des Raumes abgeschlossen ist.
Das ist nicht ohne Weiteres klar — es scheint davon
abzuhängen, wie fusselig dieser Dozent ist:
Gehören etwa die Enden
der Barthaare noch dazu, oder sind diese Haare eher so wie halb
offene (und nicht abgeschlossene) Intervalle?
Es gilt:
Die Menge \(M\) ist genau dann offen, wenn ihr Komplement
\(
\RR^n\setminus M
\)
abgeschlossen ist.
Für jede stetige Funktion
\(
f\colon \RR^n\to\RR^k
\)
ist die Nullstellenmenge
\(
\set{x\in \RR^n}{f(x)=0}
\)
abgeschlossen in
\(
\RR^n
\).
Wir geben eine Variante des Satzes von Bolzano und Weierstraß
1.6.5:
4.2.17. Satz von Bolzano und Weierstraß.
Jede beschränkte Folge in
\(
\RR^n
\)
besitzt mindestens einen
Häufungspunkt
(mit anderen Worten: Es gibt eine konvergente Teilfolge).
4.2.18. Satz vom Minimum und Maximum.
Es sei
\(
D\subseteq\RR^n
\)
kompakt, und es sei
\(
f\colon D\to\RR^k
\)
stetig.
Dann ist \(f(D)\) ebenfalls kompakt.
Im Fall \(k = 1\) nimmt \(f\) auf \(D\) ein Maximum und ein Minimum
an.
Die Beziehung zum eindimensionalen Satz
wird erst auf den zweiten Blick offenbar:
Dort wird ausgesagt,
dass das Bild eines beschränkten und abgeschlossenen
(also kompakten!)
Intervalls in \(\RR^{\alert{1}}\)
unter einer stetigen Funktion
wieder beschränkt und abgeschlossen (also kompakt) ist.
