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Wir haben in 5.1.5 die Bedingung (¡!) als notwendig (und unter der Voraussetzung eines einfach zusammenhängenden Definitionsgebiets auch als hinreichend) für die Existenz eines Potentials erkannt.
Die als Nächstes definierte Rotation ist (für Felder in höchstens drei Variablen) eine Größe, die noch mehr Information enthält:
Es sei
Unter der Divergenz von
Im Fall
die Rotation von
Die Divergenz liefert eine skalare Funktion
Dagegen liefert die Rotation ein Vektorfeld
Das Vektorfeld
hat die Divergenz
Jedes ebene Vektorfeld
einbetten
via
Dann ergibt sich
Man schreibt kurz
Die hier eingeführte Rotation eines ebenen Vektorfeldes ist also eine skalare Größe.
Mit Hilfe des Begriffs der Rotation können wir unseren Satz 5.1.5 folgendermaßen formulieren:
Besitzt das räumliche (oder ebene) Vektorfeld
Wenn
Wenn das Potential existiert, kann man es wie in den oben
besprochenen Beispielen bestimmen:
durch Integration mit geeigneten Integrationskonstanten und Vergleich
der Ableitungen mit den Komponenten des Gradientenfeldes.
Es gibt auch andere Möglichkeiten: Man kann das Potential auch durch geeignete Kurvenintegrale bestimmen, vgl. 5.3.17.
Wir haben bereits angedeutet, dass man mit Vektorfeldern den Fluss eines Gases oder einer Flüssigkeit modellieren kann.
Vorsicht: Es gibt auch Felder, in denen offensichtliche Wirbel auftreten, die sich aber nicht in der Rotation bemerkbar machen. Ein Beispiel für ein solches Feld diskutieren wir in 5.3.15, vgl. auch 5.5.5.
Schreibt man
dann schreibt sich formal
Vorsicht: Formale Schreibweisen wie diese sind nur Hilfen, um sich die Definition zu merken, man kann mit diesen Schreibweisen nicht rechnen!
Zum Rechnen muss man diese Operatoren
erst an Funktionen
auswerten.
Der Operator
heißt Laplace-Operator.
Auch diese formale Schreibweise müssen wir zunächst einmal richtig interpretieren:
Dieser Operator ordnet jeder Funktion
Eine Funktion heißt harmonisch, wenn
Für jede zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion
Die zweite Gleichung hat nur bei maximal drei Variablen einen Sinn.
Für jedes zweimal stetig differenzierbare dreidimensionale Vektorfeld
Wir berechnen
und
Hier haben wir den Satz von Schwarz 4.3.10 (und damit die Stetigkeit der zweiten partiellen Ableitungen) verwendet.
Es bleibt noch
Dies folgt sofort daraus, dass
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