In der Skizze können Sie \(\color{red}{z}\) mit der Maus bewegen und \(\color{blue}n\) mit dem Schieberegler unten einstellen.
Es wird dann die Summe \(P_{\color{blue}{n}}(\color{red}{z}) = \sum\limits_{k=0}^{\color{blue}{n}} \color{red}{z}^k = \frac{1-\color{red}{z}^{\color{blue}{n}+1}}{1-\color{red}{z}}\) der Potenzen \(\color{red}{z}^k\) (für \(k\) von \(0\) bis \(\color{blue}{n}\)) und die Zahl \(\color{darkviolet}{w} = \frac{1}{1-\color{red}{z}}\) dargestellt.
Der weiße Kreis ist der Einheitskreis.
Wenn \(\color{red}{z}\) im Innern des Einheitskreises gewählt wird (wenn also \(|\color{red}{z}|\lt1\) gilt), nähern sich die Summen \(P_{\color{blue}{n}}(\color{red}{z})\) mit wachsendem \(\color{red}{z}\) immer besser an \(\color{darkviolet}{w}\) an.
Wenn man dagegen \(\color{red}{z}\) auf dem Rand des Kreises oder gar außerhalb wählt (wenn also \(|\color{red}{z}|\geqq1\) gilt), streben diese Summen gegen keine bestimmte komplexe Zahl (schon gar nicht gegen \(\color{darkviolet}{w}\)).
Wie man komplexe Zahlen multipliziert, sieht man hier, eine Veranschaulichung des Potenzierens finden Sie da, und wie man das Potenzieren rückgangig macht, zeige ich Ihnen dort.
Erzeugt von M. Stroppel mit Hilfe von Cinderella und CindyJS