2.7. Extrema

Wenn eine differenzierbare Funktion $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ an der Stelle $x_0^{}\in (a,b)$ ein lokales Extremum besitzt, dann gilt $f^{\prime }(x_0^{})=0$.

Man möchte dieses notwendige Kriterium gerne umkehren, weil es leicht zu handhaben ist.

Allerdings zeigt $f(x)=x^3$, dass die simple Umkehrung des Kriteriums nicht gutgeht:

Bei $x_0^{}=0$ gilt $f^{\prime }(0)=0$, aber es liegt kein lokales Extremum vor.

2.7.1. Lemma.

Es sei $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ eine differenzierbare Funktion. Bei $x_0^{}\in (a,b)$ gelte $f^{\prime }(x_0^{})=0$.

Wenn die Ableitung bei $x_0$ das Vorzeichen wechselt, liegt an der Stelle $x_0$ ein lokales Extremum vor.

Genauer:
Wechselt das Vorzeichen von $f^{\prime }(x)$ von $+$ (für $x<x_0$) nach $-$ (für $x>x_0$), so besitzt $f$ in $x_0$ ein lokales Maximum
[die Funktion steigt bis $x_0$ , danach fällt sie].

Beim umgekehrten Vorzeichenwechsel liegt ein lokales Minimum vor.

2.7.2. Beispiel.

Die Funktion $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}:x\mapsto x^3+b{x}^2+cx+d$ hat die Ableitung $f^{\prime }(x)=3x^2+2bx+c$.

Die Nullstellen der Ableitung ergeben sich als $x_0^{}=\frac{1}{3}(-b-\sqrt{b^2-3c})$ und $x_1^{}=\frac{1}{3}(-b+\sqrt{b^2-3c})$
— wenn diese Stellen reelle Zahlen sind...

Für $b^2>3c$ sind dies zwei reelle Nullstellen, die Ableitung hat zwischen diesen Nullstellen negatives, sonst positives Vorzeichen.

An beiden Stellen liegt also jeweils ein lokales Extremum vor:
bei $x_0^{}$ ein lokales Maximum,
bei $x_1^{}$ ein lokales Minimum.

Für $b^2=3c$ fallen die beiden Nullstellen zusammen, der Vorzeichenwechsel verschwindet, und es liegt kein lokales Extremum vor.

Im Fall $b^2<3c$ gibt es keine reellen Nullstellen der Ableitung und deswegen keine lokalen Extrema.

In der folgenden Skizze können Sie die Parameter $b$, $c$ und $d$ selber verändern.
Beachten Sie: die Skalierung der $y$-Achse ist so angepasst, dass Sie möglichst viel vom Funktionsgraphen sehen.

Man kann den Vorzeichenwechsel oft am Verhalten der zweiten Ableitung erkennen.
Dies ist Teil des folgenden, sehr allgemeinen Kriteriums:

2.7.3. Satz.

Es sei $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ eine $n$-mal stetig differenzierbare Funktion,
und an der Stelle $x_0^{}\in (a,b)$ gelte $f^{\prime }(x_0^{})=0$ $=f^{″}(x_0^{})$ $=\cdots =f^{(n-1)}(x_0^{})$, aber $f^{(n)}(x_0^{})\ne 0$.

(Die "Pünktchen-Schreibweise" kann hier verwirren:
Für $n=4$ verbirgt sich hinter den Pünktchen gar nichts, für $n=3$ fallen $f^{″}$ und $f^{(n-1)}$ zusammen, und für $n=2$ bleibt nur die Bedingung $f^{\prime }(x_0)=0$ übrig.)

1. Ist $n$ gerade und $n\geqq 2$, dann besitzt $f$ in $x_0$ ein lokales Extremum.
   • Ist $f^{(n)}(x_0^{})>0$, so liegt ein lokales Minimum vor.
   • Ist $f^{(n)}(x_0^{})<0$, so liegt ein lokales Maximum vor.
2. Ist $n$ ungerade, dann liegt in $x_0$ kein Extremum vor.

Beweis.

Nach dem Satz von Taylor 2.6.1 gilt

$f(x)$ $=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(x_0^{})}{k!}(x-x_0^{}{)}^k$ $+\frac{f^{(n)}(x_0^{}+\vartheta (x-x_0^{}))}{n!}(x-x_0^{}{)}^n$ $=f(x_0^{})+0+\cdots +0$ $+\frac{f^{(n)}(x_0^{}+\vartheta (x-x_0^{}))}{n!}(x-x_0^{}{)}^n$

mit $\vartheta :={\vartheta }_{x,x_0^{}}\in (0,1)$.

Ist $f^{(n)}(x_0^{})>0$, so gilt dies wegen der Stetigkeit von $f^{(n)}$ für alle $x$ aus einer geeigneten Umgebung $U_{\delta }(x_0^{})$.

Für $x\in U_{\delta }(x_0^{})$ liegt wegen $\vartheta \in (0,1)$ auch $x_0^{}+\vartheta (x-x_0^{})$ in $U_{\delta }(x_0^{})$.

Falls $n$ gerade ist, so gilt für $x\in U_{\delta }(x_0^{})$ stets $(x-x_0^{}{)}^n\geqq 0$ und deswegen

$f(x)-f(x_0^{})$ $=\frac{f^{(n)}(x_0^{}+\vartheta (x-x_0^{}))}{n!}(x-x_0^{}{)}^n$ $\geqq 0$.

Das bedeutet: An der Stelle $x_0$ liegt ein lokales Minimum von $f$ vor.

Analog schließt man im Fall $$ für gerades $n$ auf ein lokales Maximum.

Ist $n$ ungerade, so wechselt der Faktor $(x-x_0^{}{)}^n$ bei $x_0$ das Vorzeichen, aber das Vorzeichen von $\frac{f^{(n)}(x_0^{}+\vartheta (x-x_0^{}))}{n!}$ bleibt:

Also liegt dann kein Extremum vor.

2.7.4. Definition.

Sei $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ differenzierbar, und es sei $(x_0^{},f{}^{\prime }(x_0^{}))$ ein lokales Extremum der Ableitung $f^{\prime }$.

Dann heißt $(x_0^{},f(x_0^{}))$ ein Wendepunkt von $f$.

2.7.5. Beispiele.

1. Die Funktion $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}:$ $x\mapsto x^3$ hat im Punkt $(0,0)$ einen Wendepunkt.
2. Die Funktion $q:\mathbb{R}\to \mathbb{R}:$ $x\mapsto x^4$ hat im Punkt $(0,0)$ keinen Wendepunkt.

Zu Extrema und Wendepunkten gibt es ein interaktives Spielzeug hier und hier noch einmal (mit einer anderen Funktion).