0. Reelle und komplexe Zahlen

0.1 Aussagen, Abbildungen und Mengen

0.1.1. Logische Operatoren und Quantoren

Wir verwenden die folgenden Symbole zur Verknüpfung von Aussagen:

• $A\wedge B$ Logische Konjunktion: Es gilt $A$ und $B$.
• $A\vee B$ Logische Disjunktion: Es gilt $A$ oder $B$ (vielleicht auch beide!)
• $A⟹B$ Logische Implikation: Aus $A$ folgt $B$.
• $A⟺B$ Logische Äquivalenz: $A$ und $B$ sind äquivalent.

Ist $M$ eine Menge, so bedeutet

• $\mathrm{\exists }m\in M:A(m)$ Es gibt ein $m$ in $M$ derart, dass $A(m)$ erfüllt ist.
• $\mathrm{\forall }m\in M:A(m)$ Für jedes $m$ in $M$ ist $A(m)$ erfüllt.

Man nennt $\mathrm{\exists }$ den Existenzquantor und $\mathrm{\forall }$ den Allquantor.

0.1.2. Definition

Unter einer Abbildung (Funktion) $f:A\to B$ von einer Menge $A$ in eine Menge $B$ versteht man eine Vorschrift, die jedem $a\in A$ eindeutig ein $f(a)\in B$ zuordnet.

Diese Vorschrift muss nicht explizit gegeben sein.

Beispielsweise wird die Funktion Fakultät $f(n)=n!$ induktiv definiert durch

$f:{\mathbb{N}}_0\to {\mathbb{N}}_0:f(n)=\{\begin{array}{ll}1& \text{ falls }n=0\text{, }\\ n\cdot f(n-1)& \text{ sonst.}\end{array}$

0.1.3. Definitionen

Eine Abbildung $f:A\to Z$ heißt

• injektiv, falls für $a\ne b$ stets $f(a)\ne f(b)$ gilt

  $(\mathrm{\forall }a,b\in A:a\ne b⟹f(a)\ne f(b))$

• surjektiv, falls zu jedem $z\in Z$ ein $a\in A$ mit $f(a)=z$ existiert

  $(\mathrm{\forall }z\in Z\mathrm{\exists }a\in A:f(a)=z)$

• bijektiv, falls $f$ sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

0.1.4. Beispiele

1. Die Funktion $q:\mathbb{R}\to \mathbb{R}:q(x)=x^2$ ist weder injektiv

   $q(x)=q(-x)$

   noch surjektiv

   $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}:q(x)\ne -1$.

2. Die Einschränkung von $q$ zu einer Funktion $\tilde{q}:{\mathbb{R}}_0^{+}\to {\mathbb{R}}_0^{+}$ ist bijektiv.

3. Die Funktion Fakultät ist weder injektiv noch surjektiv.

   Es gilt ja $0!=1=1!$ und $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_0:n!\ne 3$

4. Schränkt man die Fakultät zu einer Abbildung von $\mathbb{N}$ nach $\mathbb{N}$ ein, so wird diese injektiv (aber immer noch nicht surjektiv).

Mengen kann man auf verschiedene Arten beschreiben:

• durch explizite Auflistung, etwa $M=\{1,2,15,23\}$ oder $X=\{3,5,7,\dots \}$,

• durch Aussondern aus einem Universum mittels einer Aussageform, etwa $Y:=\left\{x\in U|\phantom{x\in U}\phantom{\text{orange}A(x)}\text{orange}A(x)\right\}$.

  Konkretes Beispiel: ${\mathbb{N}}_0=\left\{x\in \mathbb{Z}|\phantom{x\in \mathbb{Z}}\phantom{\text{orange}x\geqq 0}\text{orange}x\geqq 0\right\}$.

Die zweite Variante ist präziser:

Bei der eben gegebenen Beschreibung der Menge $X$ ist nur aus dem Kontext zu entnehmen, ob die Menge aller ungeraden ganzen Zahlen größer als $1$ gemeint ist (präzise: $\left\{z\in \mathbb{Z}|\phantom{z\in \mathbb{Z}}\phantom{\text{orange}z>1\wedge z\text{ ungerade}}\text{orange}z>1\wedge z\text{ ungerade}\right\}$) oder doch die Menge aller Primzahlen größer als $2$, oder noch etwas ganz anderes.

0.1.5. Definitionen

Es sei $X$ eine Menge.

• Eine Menge $M$ heißt Teilmenge von $X$, wenn jedes Element von $M$ auch Element von $X$ ist.

  Wir schreiben dann $M⫅X$.

• Der Schnitt von zwei Mengen $A$, $B$ ist $A\cap B:=\left\{x|\phantom{x}\phantom{x\in A\wedge x\in B}x\in A\wedge x\in B\right\}$.
• Die Vereinigung ist $A\cup B:=\left\{x|\phantom{x}\phantom{x\in A\vee x\in B}x\in A\vee x\in B\right\}$.
• Die Differenz ist $A\setminus B:=\left\{x\in A|\phantom{x\in A}\phantom{x\notin B}x\notin B\right\}$.
• Das Komplement von $M$ in $X$ ist ${\complement }_X(M):=\left\{x\in X|\phantom{x\in X}\phantom{x\notin M}x\notin M\right\}$ — man kann auch einfach ${\complement }_X(M)=X\setminus M$ schreiben.

0.1.6. Gesetze von de Morgan

• ${\complement }_X(A\cup B)={\complement }_X(A)\cap {\complement }_X(B)$
• ${\complement }_X(A\cap B)={\complement }_X(A)\cup {\complement }_X(B)$

Für beliebige Mengen $A$ und $B$ bildet man das kartesische Produkt $A\times B:=\left\{(a,b)|\phantom{(a,b)}\phantom{a\in A\wedge b\in B}a\in A\wedge b\in B\right\}$, also die Menge aller geordneten Paare.

Im Falle $A=B$ schreibt man kurz $A^2:=A\times A$.

Man kann wiederholt kartesische Produkte bilden, dabei werden $(A\times B)\times C$ und $A\times (B\times C)$ identifiziert, und man schreibt einfach $A\times B\times C$.

Insbesondere ist $\text{A^alert{n}:=underbrace{Atimescdotstimes A}\_{alert{n}text{-mal}}}$.

Ein sehr wichtiges Beispiel ist die Menge ${\mathbb{R}}^n$.

Man beachte: Elemente in kartesischen Produkten sind genau dann gleich, wenn sie in allen Einträgen übereinstimmen!

$\mathrm{\forall }{a}_1,a_2\in A\mathrm{\forall }{b}_1,b_2\in B:(a_1,b_1)=(a_2,b_2)⟺(a_1=a_2)\wedge (b_1=b_2).$