0. Reelle und komplexe Zahlen

0.1 Aussagen, Abbildungen und Mengen

0.1.1. Logische Operatoren und Quantoren

Wir verwenden die folgenden Symbole zur Verknüpfung von Aussagen:

• \(A\land B\qquad\) Logische Konjunktion: Es gilt \(A\) und \(B\).
• \(A\lor B\qquad\) Logische Disjunktion: Es gilt \(A\) oder \(B\) (vielleicht auch beide!)
• \(A\implies B\quad\) Logische Implikation: Aus \(A\) folgt \(B\).
• \(A\iff B\quad\) Logische Äquivalenz: \(A\) und \(B\) sind äquivalent.

Ist \(M\) eine Menge, so bedeutet

• \(\exists\, m\in M: A(m)\) Es gibt ein \(m\) in \(M\) derart, dass \(A(m)\) erfüllt ist.
• \(\forall\, m\in M: A(m)\) Für jedes \(m\) in \(M\) ist \(A(m)\) erfüllt.

Man nennt \(\exists\) den Existenzquantor und \(\forall\) den Allquantor.

0.1.2. Definition

Unter einer Abbildung (Funktion) \(f:A\to B\) von einer Menge \(A\) in eine Menge \(B\) versteht man eine Vorschrift, die jedem \(a\in A\) eindeutig ein \(f(a)\in B\) zuordnet.

Diese Vorschrift muss nicht explizit gegeben sein.

Beispielsweise wird die Funktion Fakultät \(f(n)=n!\) induktiv definiert durch

\( f:\NN_0\to\NN_0: f(n)= \left\{ \begin{array}{ll} \quad 1 & \text{ falls \(n=0\), }\\ \,n\cdot f(n-1) & \text{ sonst.} \end{array}\right. \)

0.1.3. Definitionen

Eine Abbildung \(f:A\to Z\) heißt

• injektiv, falls für \(a\ne b\) stets \(f(a)\ne f(b)\) gilt

  \(\left(\strut\forall\, a,b\in A: \, a\ne b\implies f(a)\ne f(b)\right)\)

• surjektiv, falls zu jedem \(z\in Z\) ein \(a\in A\) mit \(f(a)=z\) existiert

  \(\left(\strut\forall\, z\in Z\,\exists\, a\in A:\, f(a)=z\right)\)

• bijektiv, falls \(f\) sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

0.1.4. Beispiele

1. Die Funktion \(q:\RR\to\RR:q(x)=x^2\) ist weder injektiv

   \(q(x)=q(-x)\)

   noch surjektiv

   \(\forall\, x\in\RR:\,q(x)\ne-1\).

2. Die Einschränkung von \(q\) zu einer Funktion \(\tilde q:\RR^+_0\to\RR^+_0\) ist bijektiv.

3. Die Funktion Fakultät ist weder injektiv noch surjektiv.

   Es gilt ja \(0!=1=1!\) und \(\forall\, n\in\NN_0:\,n!\ne3\)

4. Schränkt man die Fakultät zu einer Abbildung von \(\NN\) nach \(\NN\) ein, so wird diese injektiv (aber immer noch nicht surjektiv).

Mengen kann man auf verschiedene Arten beschreiben:

• durch explizite Auflistung, etwa \(M=\{1,2,15,23\}\) oder \(X=\{3,5,7,\ldots\}\),

• durch Aussondern aus einem Universum mittels einer Aussageform, etwa \(Y:=\set{x\in\blau{U}}{\orange{A(x)}}\).

  Konkretes Beispiel: \(\NN_0=\set{x\in\blau{\ZZ}}{\orange{x\ge0}}\).

Die zweite Variante ist präziser:

Bei der eben gegebenen Beschreibung der Menge \(X\) ist nur aus dem Kontext zu entnehmen, ob die Menge aller ungeraden ganzen Zahlen größer als \(1\) gemeint ist (präzise: \(\set{z\in\blau{\ZZ}}{\orange{z>1\,\land\,z\text{ ungerade}}}\)) oder doch die Menge aller Primzahlen größer als \(2\), oder noch etwas ganz anderes.

0.1.5. Definitionen

Es sei \(X\) eine Menge.

• Eine Menge \(M\) heißt Teilmenge von \(X\), wenn jedes Element von \(M\) auch Element von \(X\) ist.

  Wir schreiben dann \(\alert{M\subseteq X}\).

• Der Schnitt von zwei Mengen \(A\), \(B\) ist \(\alert{A\cap B:=\set{x}{x\in A\land x\in B}}\).
• Die Vereinigung ist \(\alert{A\cup B:=\set{x}{x\in A\lor x\in B}}\).
• Die Differenz ist \(\alert{A\setminus B:=\set{x\in A}{x\notin B}}\).
• Das Komplement von \(M\) in \(X\) ist \(\alert{\Cpl XM:=\set{x\in X}{x\notin M}}\) — man kann auch einfach \(\Cpl XM = X\setminus M\) schreiben.

0.1.6. Gesetze von de Morgan

• \(\Cpl X{A\cup B} = \Cpl XA \cap \Cpl XB\)
• \(\Cpl X{A\cap B} = \Cpl XA \cup \Cpl XB\)

Für beliebige Mengen \(A\) und \(B\) bildet man das kartesische Produkt \(\alert{A\times B}:= \bigset{(a,b)}{a\in A\land b\in B}\), also die Menge aller geordneten Paare.

Im Falle \(A=B\) schreibt man kurz \(\alert{A^2:=A\times A}\).

Man kann wiederholt kartesische Produkte bilden, dabei werden \((A\times B)\times C\) und \(A\times(B\times C)\) identifiziert, und man schreibt einfach \(A\times B\times C\).

Insbesondere ist \(A^\alert{n}:=\underbrace{A\times\cdots\times A}_{\alert{n}\text{-mal}}\).

Ein sehr wichtiges Beispiel ist die Menge \(\RR^n\).

Man beachte: Elemente in kartesischen Produkten sind genau dann gleich, wenn sie in allen Einträgen übereinstimmen!

\( \forall\, a_1,a_2\in A \, \forall\, b_1,b_2\in B : \quad (a_1,b_1)=(a_2,b_2) \iff (a_1=a_2)\land(b_1=b_2) \,. \)