\(
\def\pause{}
\def\,{\kern.2em}
\def\implies{\Longrightarrow}
\newcommand{\alert}[1]{\color{red}{#1}}
\def\ds{\displaystyle}
\let\epsilon\varepsilon
\let\subseteq\subseteqq
\let\supseteq\supseteqq
\let\setminus\smallsetminus
\let\le\leqq
\let\leq\leqq
\let\ge\geqq
\let\geq\geqq
\newcommand{\NN}{\mathbb N}
\newcommand{\QQ}{\mathbb Q}
\newcommand{\RR}{\mathbb R}
\newcommand{\ZZ}{\mathbb Z}
\renewcommand{\limsup}{\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}}
\renewcommand{\liminf}{\mathop{\underline{\mathrm{lim}}}}
\newcommand{\redlimsup}{\mathop{\color{red}{\overline{\mathrm{lim}}}}}
\newcommand{\redliminf}{\mathop{\color{red}{\underline{\mathrm{lim}}}}}
\newcommand{\konv}[1][]{\mathbin{\mathop{\longrightarrow}\limits_{#1}}}
\newcommand{\bigset}[2]{\left\{{#1}\left|\strut
\vphantom{#1}\vphantom{#2}\right.\, {#2}\right\}}
\newcommand{\set}[2]{\left\{\smash{#1}\left|%
\vphantom{\smash{#1}}\vphantom{\smash{#2}}\right.\,\smash{#2}\right\}}
\newcommand{\E}{\mathrm{e}}
\newcommand{\I}{\mathrm{i}}
\newcommand{\diff}{\mathop{\mathrm{\kern0pt d}}}
\newcommand{\diffAt}[3]{\frac{\diff}{\diff{#2}}\,\left.{\vphantom{\frac00}#1}\,\right|_{#2=#3}}
\newcommand{\partAt}[3]{\frac{\partial}{\partial{#2}}\,\left.{\vphantom{\frac00}#1}\,\right|_{#2=#3}}
\newcommand{\diffgleich}{\mathbin{\,\mathop{=}\limits^{\,\prime}}\,}
\newcommand{\grad}{\mathop{\mathrm{grad}}}
\newcommand{\Jac}[2]{\mathrm{J}{#1}\left(#2\right)}
\newcommand{\Hesse}[2]{\mathrm{H}{#1}\left(#2\right)}
\newcommand{\Hesso}[1]{\mathrm{H}{#1}}
\newcommand{\transp}{^{^{\scriptstyle\intercal}}}
\newcommand{\inn}[1]{{#1}^\circ}
\newcommand{\Cf}[2]{\mathcal C^{#1}(#2)}
\newcommand{\skalp}{\mathbin{\scriptstyle\bullet}}
\newcommand{\IA}{{\sf\color{DarkGreen}{(IA)}}}
\newcommand{\IH}{{\sf\color{DarkGreen}{(IH)}}}
\newcommand{\IS}{{\sf\color{DarkGreen}{(IS)}}}
\)
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0.2 Die Menge \(\RR\) der reellen Zahlen: Anordnung und Abstände
Mit \(\alert{\ZZ}\) wird die Menge
\(
\ZZ:=\{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \}
\)
aller ganzen Zahlen bezeichnet.
Wir brauchen diese Erweiterung von \(\NN\), da \(\NN\) unter Subtraktion nicht
abgeschlossen ist.
Nun ist \(\ZZ\) zwar unter Subtraktion, aber nicht unter Division
abgeschlossen:
Wir erweitern deswegen weiter zur Menge
\(\alert{\QQ}\) aller
rationalen Zahlen :
\(
\QQ:=\bigset{\,\displaystyle\frac ab\,}{a,b\in\ZZ \land b\ne0}
\).
Um den Zahlenstrahl (und damit die Geometrie) beschreiben zu können, müssen
wir den Zahlbereich noch einmal erweitern
[z. B. fehlen
\(\smash{\sqrt2}\) und \(\pi\)].
Jede von Null verschiedene reelle Zahl
lässt sich durch einen nicht abbrechenden Dezimalbruch beschreiben.
Umgekehrt beschreibt jeder Dezimalbruch eine reelle Zahl.
0.2.1 Beispiele
\(
\pi = 3,14159265358979323846264\ldots\)
\(\E=2,71
82818284590452353
747135266249775724709379996
\ldots\)
\(\frac13=0, 33
33333333333333333\ldots\)
\(\frac1{17}=0, 0588235294117647
\color{blue} {0588235294117647}
\color{violet}{0588235294117647}
\ldots\)
\(\frac12=0,
49999999999999999\ldots\)
0.2.2 Ordnungsrelation auf der Menge der reellen Zahlen
Mit Hilfe der Geometrie der Zahlengeraden kann man reelle Zahlen
untereinander vergleichen.
Man definiert für \(a,b\in\RR\):
\(a\lt b\) falls \(a\) links von \(b\) liegt
\(a\gt b\) falls \(a\) rechts von \(b\) liegt
\(a=b\) sonst.
Offenbar tritt immer genau einer dieser Fälle ein.
Wir erhalten daher eine Zerlegung von \(\RR\) in die Mengen
\(
\RR^+:= \set{r\in\RR}{r\gt 0} \,, \quad
\{0\} \,, \quad
\RR^-:= \set{r\in\RR}{r\lt 0} \,; \)
man schreibt auch
\(
\RR^+_0:=\RR^+\cup\{0\} \pause = \set{r\in\RR}{r\ge0} \,.
\)
Allgemein schreibt man \(a\ge b\) für \((a\gt b \lor a=b)\), analog \(a\le b\).
0.2.3 Eigenschaften der Ordnungsrelation
Für alle \(a,b,c\in\RR\) gilt:
Transitivität:
\(\alert{(a\lt b) \land (b\lt c) \implies (a\lt c) }\)
Monotonie der Addition:
\(\alert{(a\lt b) \implies (a+c\lt b+c)}\)
Monotonie der Multiplikation:
\(\alert{
\begin{array}[t]{ccc}
(a\lt b)\land(c\gt 0) & \implies & (ac\lt bc) \\
(a\lt b)\land(c\lt 0) & \implies & (ac\gt bc)
\end{array}}\)
Archimedisches
Prinzip:
\(\alert{\forall\, x\in\RR\,\exists\, n\in\NN: n\gt x}\)
0.2.4 Weitere Eigenschaften der Ordnungsrelation
Für alle \(a,b,c,d\in\RR\) gilt:
\((a\lt b)\land(c\lt d)\implies a+c\lt b+d \strut\)
\(0\lt a\lt b\implies 0\lt \ds\frac1b\lt \frac1a\)
0.2.5 Monotonie des Quadrierens
Ist \(a\gt 0\) und \(b\gt 0\), so gilt \(( a\lt b \iff a^2 \lt b^2 )\).
0.2.6 Betrag einer reellen Zahl
Für \(x\in\RR\) setzen wir \(|x|:=\pause\left\{
\begin{array}[c]{rl}
x & \text{ falls \(x\ge0\)} \\\pause
-x & \text{ falls \(x\lt 0\)} \,.
\end{array}\right.\)
0.2.7 Rechenregeln für Beträge
Für \(a,b\in\RR\) und \(c\in\RR\setminus\{0\}\) gilt:
\(|a|=0 \iff a=0\)
\(|a\cdot b| = |a|\cdot|b|\) und
\(\left|\frac ac\right| = \frac{|a|}{|c|}\)
\(|a+b|\le|a|+|b|\) (Dreiecksungleichung)