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In vielen technischen oder physikalischen Anwendungen werden
Terme höherer Ordnung
ignoriert, um einfachere
(oder überhaupt handhabbare) Formeln zu bekommen.
Den Hintergrund (und die Grundlage für eine Kontrolle des entstehenden Fehlers) bietet der folgende Satz.
Es sei
Dann gibt es für jedes Paar
Man nennt
das Taylorpolynom der Stufe
wird als Restglied nach Lagrange bezeichnet.
Das Restglied gibt den Fehler an, den man macht, wenn man
statt der komplizierten Funktion
Um von der Vereinfachung zu profitieren, wird man das
Restglied nicht exakt berechnen, sondern den Fehler
(eventuell ziemlich grob) abschätzen.
Für
In der folgenden Darstellung können Sie
durch Einstellen von
Versuchen Sie dann, die Challenge zu meistern!
Wir berechnen das Taylorpolynom der Stufe
Daher ist
und
In der folgenden Skizze sieht man den Graph der Funktion
sowie die Taylorpolynome
und
Die Taylorpolynome für die hier vorliegende Funktion sind
Partialsummen der binomischen Reihe zum Exponenten
Wegen
gilt
Mit steigender Stufe scheinen die Taylorpolynome die gegebene
Funktion
Für viele Funktionen ist das tatsächlich wahr — wir brauchen dazu natürlich mindestens, dass die Funktion beliebig oft differenzierbar ist.
Die Funktion
Für
die Taylorreihe der Funktion
Offenbar gilt:
Die Taylorreihe
Man wird also versuchen, das Intervall
Genauere Untersuchungen finden im Rahmen der Numerik statt.
In den folgenden Skizzen ist außer dem Graph von
Das Restglied gibt den Fehler an, den man in Kauf nimmt, wenn man die Funktion durch das Taylorpolynom ersetzt.
Bei der zuletzt gezeigten Funktion ist die Passung des Taylorpolynoms
der Stufe
Das ist allerdings nur in dieser Umgebung richtig:
Die dritte Ableitung der betrachteten Funktion ist übrigens
also nicht mehr stetig nach
Die Funktionen
Als Intervall zur Taylorentwicklung müssen wir also ein Intervall
Dass Taylorpolynome nur in kleinen Umgebungen gut zur gegebenen Funktion passen, ist ein allgemeines Phänomen:
Wenn die Taylorreihe
Die Koeffizienten sind dann auch eindeutig bestimmt:
Die Funktion
Dabei sei
Dann ist
Die Koeffizienten der Potenzreihe stimmen mit den Koeffizienten der Taylorreihe überein:
Insbesondere gilt:
Stimmen die durch zwei Potenzreihen
Im (Beweis für den) Eindeutigkeitssatz für Potenzreihen benutzt man die folgende Tatsache, die auch sonst sehr nützlich ist:
Es sei
Der Konvergenzradius der Potenzreihe
Dann ist die Funktion
beliebig oft differenzierbar, und es gilt
Als wichtigste Eigenschaft der Exponentialfunktion halten wir fest,
dass diese die DGL
Diese DGL hat viele Lösungen, die „richtige“ Lösung wird durch die
Anfangsbedingung
Durch diese beiden Eigenschaften allein ist die Exponentialfunktion aber auch schon eindeutig festgelegt:
Es ergibt sich die Taylorreihe
Wir wollen aber auch überpüfen, ob diese Potenzreihe wirklich die gewünschte Funktion darstellt (siehe 2.6.12 als warnendes Beispiel).
Wegen
Da
Damit sehen wir, dass die Folge der Restglieder konvergiert:
Also wird
Damit ist auch unsere Definition 1.14.10 der Exponentialfunktion im Komplexen gerechtfertigt.
Analog zeigt man ausgehend von der Differentialgleichung
Es kommt vor, dass die Taylorreihe einer Funktion an einer Stelle
Die Funktion
Diese Funktion ist in die „Klebestelle“
Die Fortsetzung ist dann beliebig oft differenzierbar, es gilt
Alle Koeffizienten der Taylorreihe
Wir betrachten
Mit Hilfe vollständiger Induktion zeigt man
Somit ergibt sich die Taylorreihe als
Das Restglied ist
mit
Für
Für
in jedem Fall also
Folglich konvergiert das Restglied für jedes
Setzt man in die Potenzreihe
den Wert
Damit haben wir die Summe der alternierenden harmonischen Reihe bestimmt!
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