\( \def\pause{} \let\epsilon\varepsilon \let\subseteq\subseteqq \let\supseteq\supseteqq \let\setminus\smallsetminus \let\le\leqq \let\leq\leqq \let\ge\geqq \let\geq\geqq \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \renewcommand{\limsup}{\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}} \renewcommand{\liminf}{\mathop{\underline{\mathrm{lim}}}} \newcommand{\redlimsup}{\mathop{\color{red}{\overline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\redliminf}{\mathop{\color{red}{\underline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\konv}[1][]{\mathbin{\mathop{\longrightarrow}\limits_{#1}}} \newcommand{\bigset}[2]{\left\{{#1}\left|\strut \vphantom{#1}\vphantom{#2}\right.\, {#2}\right\}} \newcommand{\set}[2]{\left\{\smash{#1}\left|% \vphantom{\smash{#1}}\vphantom{\smash{#2}}\right.\,\smash{#2}\right\}} \newcommand{\diff}{\mathop{\mathrm{\kern0pt d}}} \newcommand{\diffAt}[3]{\frac{\diff}{\diff{#2}}\,\left.{\vphantom{\frac00}#1}\,\right|_{#2=#3}} \newcommand{\partAt}[3]{\frac{\partial}{\partial{#2}}\,\left.{\vphantom{\frac00}#1}\,\right|_{#2=#3}} \newcommand{\diffgleich}{\mathbin{\,\mathop{=}\limits^{\,\prime}}\,} \newcommand{\grad}{\mathop{\mathrm{grad}}} \newcommand{\Jac}[2]{\mathrm{J}{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\Hesse}[2]{\mathrm{H}{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\Hesso}[1]{\mathrm{H}{#1}} \)

2. Differenzierbare Funktionen

2.1. Differenzierbarkeit

2.1.1. Definition.

Es sei \(I\) ein reelles Intervall und \( x_0\in I \).

Eine Funktion \( f\colon I\to\RR \) heißt differenzierbar an der Stelle \(x_0\), wenn der Grenzwert \( \lim\limits_{x\to x_0^{}}\frac{f(x)-f(x_0^{})}{x-x_0^{}} \) existiert.

Man nennt diesen Grenzwert die Ableitung von \(f\) an der Stelle \(x_0\).

Gebräuchliche Schreibweisen für die Ableitung sind: \( f'(x_0^{}) \), \( \frac{\diff f}{\diff x}(x_0^{}) \), \( \frac{\diff}{\diff x}\,f(x_0^{}) \), \( \diffAt {f(x)}{x}{x_0^{}} \).

Die Funktion \(f\) heißt differenzierbar in \(I\), wenn sie an jeder Stelle in \(I\) differenzierbar ist. In diesem Fall erhalten wir eine Abbildung \( f'\colon I\to\RR\colon{}\pause x\mapsto f'(x) \).

2.1.2. Bemerkung.

Man kann auch rechts- oder linksseitige Differenzierbarkeit definieren:

Dann verlangt man die Existenz des Grenzwerts \( \lim\limits_{x\to x_0^{}+0}\frac{f(x)-f(x_0^{})}{x-x_0^{}} \) bzw. \( \lim\limits_{x\to x_0^{}-0}\frac{f(x)-f(x_0^{})}{x-x_0^{}} \).

2.1.3. Bemerkung.

Die Funktion \(f\) ist an der Stelle \(x_0\) genau dann differenzierbar, wenn der Differentialquotient \( \lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0^{}+h)-f(x_0^{})}h \) existiert,
dieser stimmt dann mit der Ableitung von \(f\) im Punkt \(x_0\) überein. [Man schreibt \(h := x − x_0\).]

2.1.4. Geometrische Interpretation der Ableitung.

Der Differenzenquotient \( \frac{f(x)-f(x_0^{})}{x-x_0^{}} \) beschreibt die Steigung der Sekante, also der Verbindungsgeraden der Punkte \( (x_0 , f (x_0 )) \) und \( (x , f (x )) \).

Die Ableitung ist zu interpretieren als die Steigung der Tangente [die von Sekanten approximiert wird]. Die Existenz des Grenzwerts bedeutet gerade, dass die Sekanten gegen eine wohlbestimmte Grenzlage streben!

Sie können in der folgenden Skizze sowohl die Stelle \(x_0\), an der Sie die Ableitung (und damit im Punkt \((x_0,f(x_0))\) die blaue Tangente an den roten Funktionsgraph) suchen, als auch die Stelle \(x_1\) (die den zweiten Punkt \((x,f(x))\) auf der gelben Sekante liefert) verändern.

Versuchen Sie, die Tangente durch die Sekante zu approximieren:

Mehr solche interaktiven Beispiele finden Sie hier und hier.

2.1.5. Bemerkung.

Ist \(f\) an der Stelle \(x_0\) differenzierbar, so hat die Tangente an den Graph von \(f\) im Punkt \((x_0 , f (x_0 ))\) die Gleichung \( y = f'(x_0^{}) (x-x_0^{}) + f(x_0^{}) \).

2.1.6. Bemerkung.

Konstante Funktionen sind differenzierbar, die Ableitung ist in jedem Punkt \(0\).

Umgekehrt ist jede Funktion \( f\colon(a,b)\to\RR \), die in jedem Punkt \( x\in(a,b) \) des Intervalls differenzierbar ist und \( f'(x)=0 \) erfüllt, auch konstant.

2.1.7. Bemerkung.

Ist \(f\) differenzierbar an der Stelle \(x_0\), so ist \(f\) auch stetig in \(x_0\).

2.1.8. Beispiele

für differenzierbare (oder nicht differenzierbare) Funktionen kennen Sie aus dem Schulunterricht:

  1. Polynome:
    \( \frac{\diff}{\diff x} \left(a_n^{}\,x^n+a_{n-1}^{}\,x^{n-1}+\cdots+a_1^{}\,x+a_0^{}\right) \) \( {} = n\,a_n^{}\,x^{n-1}+(n-1)\,a_{n-1}^{}\,x^{n-2}+\cdots+a_1^{} \)
  2. \( \frac{\diff}{\diff x}\sin x = \cos x \), \( \frac{\diff}{\diff x}\cos x = -\sin x \).
  3. Die Betragsfunktion ist nicht differenzierbar an der Stelle \(x_0 = 0\).
    (Siehe auch das interaktive Beispiel hier.)