2. Differenzierbare Funktionen

2.1. Differenzierbarkeit

2.1.1. Definition.

Es sei $I$ ein reelles Intervall und $x_0\in I$.

Eine Funktion $f:I\to \mathbb{R}$ heißt differenzierbar an der Stelle $x_0$, wenn der Grenzwert $\underset{x\to x_0^{}}{lim}\frac{f(x)-f(x_0^{})}{x-x_0^{}}$ existiert.

Man nennt diesen Grenzwert die Ableitung von $f$ an der Stelle $x_0$.

Gebräuchliche Schreibweisen für die Ableitung sind: $f^{\prime }(x_0^{})$, $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x_0^{})$, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x_0^{})$, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\phantom{\frac{0}{0}}f(x)|}_{x=x_0^{}}$.

Die Funktion $f$ heißt differenzierbar in $I$, wenn sie an jeder Stelle in $I$ differenzierbar ist. In diesem Fall erhalten wir eine Abbildung $f^{\prime }:I\to \mathbb{R}:x\mapsto f^{\prime }(x)$.

2.1.2. Bemerkung.

Man kann auch rechts- oder linksseitige Differenzierbarkeit definieren:

Dann verlangt man die Existenz des Grenzwerts $\underset{x\to x_0^{}+0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0^{})}{x-x_0^{}}$ bzw. $\underset{x\to x_0^{}-0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0^{})}{x-x_0^{}}$.

2.1.3. Bemerkung.

Die Funktion $f$ ist an der Stelle $x_0$ genau dann differenzierbar, wenn der Differentialquotient $\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0^{}+h)-f(x_0^{})}{h}$ existiert,
dieser stimmt dann mit der Ableitung von $f$ im Punkt $x_0$ überein. [Man schreibt $h:=x-x_0$.]

2.1.4. Geometrische Interpretation der Ableitung.

Der Differenzenquotient $\frac{f(x)-f(x_0^{})}{x-x_0^{}}$ beschreibt die Steigung der Sekante, also der Verbindungsgeraden der Punkte $(x_0,f(x_0))$ und $(x,f(x))$.

Die Ableitung ist zu interpretieren als die Steigung der Tangente [die von Sekanten approximiert wird]. Die Existenz des Grenzwerts bedeutet gerade, dass die Sekanten gegen eine wohlbestimmte Grenzlage streben!

Sie können in der folgenden Skizze sowohl die Stelle $x_0$, an der Sie die Ableitung (und damit im Punkt $(x_0,f(x_0))$ die blaue Tangente an den roten Funktionsgraph) suchen, als auch die Stelle $x_1$ (die den zweiten Punkt $(x,f(x))$ auf der gelben Sekante liefert) verändern.

Versuchen Sie, die Tangente durch die Sekante zu approximieren:

Mehr solche interaktiven Beispiele finden Sie hier und hier.

2.1.5. Bemerkung.

Ist $f$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar, so hat die Tangente an den Graph von $f$ im Punkt $(x_0,f(x_0))$ die Gleichung $y=f^{\prime }(x_0^{})(x-x_0^{})+f(x_0^{})$.

2.1.6. Bemerkung.

Konstante Funktionen sind differenzierbar, die Ableitung ist in jedem Punkt $0$.

Umgekehrt ist jede Funktion $f:(a,b)\to \mathbb{R}$, die in jedem Punkt $x\in (a,b)$ des Intervalls differenzierbar ist und $f^{\prime }(x)=0$ erfüllt, auch konstant.

2.1.7. Bemerkung.

Ist $f$ differenzierbar an der Stelle $x_0$, so ist $f$ auch stetig in $x_0$.

2.1.8. Beispiele

für differenzierbare (oder nicht differenzierbare) Funktionen kennen Sie aus dem Schulunterricht:

1. Polynome:
   $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(a_n^{}{x}^n+a_{n-1}^{}{x}^{n-1}+\cdots +a_1^{}x+a_0^{})$ $=n{a}_n^{}{x}^{n-1}+(n-1)a_{n-1}^{}{x}^{n-2}+\cdots +a_1^{}$
2. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin x=\cos x$, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos x=-\sin x$.
3. Die Betragsfunktion ist nicht differenzierbar an der Stelle $x_0=0$.
   (Siehe auch das interaktive Beispiel hier.)