\( \def\pause{} \def\,{\kern.2em} \def\implies{\Longrightarrow} \newcommand{\alert}[1]{\color{red}{#1}} \def\ds{\displaystyle} \let\epsilon\varepsilon \let\subseteq\subseteqq \let\supseteq\supseteqq \let\setminus\smallsetminus \let\le\leqq \let\leq\leqq \let\ge\geqq \let\geq\geqq \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\QQ}{\mathbb Q} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \newcommand{\ZZ}{\mathbb Z} \renewcommand{\limsup}{\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}} \renewcommand{\liminf}{\mathop{\underline{\mathrm{lim}}}} \newcommand{\redlimsup}{\mathop{\color{red}{\overline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\redliminf}{\mathop{\color{red}{\underline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\konv}[1][]{\mathbin{\mathop{\longrightarrow}\limits_{#1}}} \newcommand{\bigset}[2]{\left\{{#1}\left|\strut \vphantom{#1}\vphantom{#2}\right.\kern2pt {#2}\right\}} \newcommand{\set}[2]{\left\{\smash{#1}\left|% \vphantom{\smash{#1}}\vphantom{\smash{#2}}\right.\kern2pt\smash{#2}\right\}} \newcommand{\E}{\mathrm{e}} \newcommand{\I}{\mathrm{i}} \newcommand{\diff}{\mathop{\mathrm{\kern0pt d}}} \newcommand{\diffAt}[3]{\frac{\diff}{\diff{#2}}\kern2pt\left.{\vphantom{\frac00}#1}\kern2pt\right|_{#2=#3}} \newcommand{\partAt}[3]{\frac{\partial}{\partial{#2}}\kern2pt\left.{\vphantom{\frac00}#1}\kern2pt\right|_{#2=#3}} \newcommand{\grad}{\mathop{\mathrm{grad}}} \newcommand{\Jac}[2]{\mathrm{J}{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\Hesse}[2]{\mathrm{H}{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\Hesso}[1]{\mathrm{H}{#1}} \newcommand{\transp}{^{^{\scriptstyle\intercal}}} \newcommand{\inn}[1]{{#1}^\circ} \newcommand{\Bar}[1]{\overline{#1}} \renewcommand{\implies}{\Longrightarrow} \)

4.2. Folgen in \(\RR^n\), Stetigkeit

4.2.1. Definition.

Eine Folge in \( \RR^n \) ordnet wieder jeder natürlichen Zahl \( k\in\NN \) ein Folgenglied \( a_k \) zu:

Es ist jetzt aber \( a_k = (a_{k1},a_{k2},\ldots,a_{kn})\transp \) \( = \left(\begin{array}{c} a_{k1}\\a_{k2}\\\vdots\\a_{kn} \end{array}\right) \in\RR^n \).

Man sollte die Nummer \(k\) des Folgenglieds nicht mit den Indizes der Komponenten verwechseln!

Konvergenz von Folgen in \( \RR^n \) definiert man wieder über Umgebungen \( U_\epsilon(a) \) \( := \) \( \bigset{x\in\RR^n}{|x-a| \lt \epsilon} \), dabei bezeichnet \( |x| =\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2} \) die euklidische Länge des Vektors \( x\in\RR^n \).

Für \(n = 3\) sind diese Umgebungen offene Kugeln (der Rand \( \alert{\partial U_\epsilon(a)} \) \( := \bigset{x\in\RR^n}{|x-a| \alert{=} \epsilon} \) gehört nicht dazu!),

für \(n = 2\) offene Kreisscheiben,

für \(n = 1\) offene Intervalle.

4.2.2. Definition.

Eine Folge \( (a_k)_{k\in\NN} \) in \( \RR^n \) konvergiert gegen \( z\in\RR^n \), wenn gilt:

\( \forall\kern2pt\epsilon >0 \quad \) \( \exists\kern2pt K\in\NN \quad \) \( \forall\kern2ptk>K\colon{} \quad \) \( a_k\in U_\epsilon(z) \).

Die Folge heißt divergent, wenn sie gegen kein \( z\in\RR^n \) konvergiert.

Dies ist die unmittelbare Erweiterung des Konvergenzbegriffs in \(\RR=\RR^1\).

Man kann die Konvergenz in \(\RR^n\) leicht auf die Konvergenz reeller Folgen zurückführen:

4.2.3. Lemma.

Es sei \( z\in\RR^n \) und \( (a_k)_{k\in\NN} \) eine Folge in \(\RR^n\).

Die folgenden Aussagen sind gleichwertig:

  1. Die Folge \( (a_k)_{k\in\NN} \) konvergiert gegen \(z\).
  2. Die Folge \( \bigl(|a_k-z|\bigr)_{k\in\NN} \) konvergiert gegen \(0\).
  3. Für jedes \( j\in\{1,\ldots,n\} \) konvergiert die Komponentenfolge \( (a_{kj})_{k\in\NN} \) gegen \(z_j\).

Beweis als Fingerübung zu Konvergenzbegriffen.

Die Äquivalenz der ersten beiden Aussagen ergibt sich direkt aus der Definition.

Die zweite und dritte Aussage sind gleichwertig, weil die Folge

\( \bigl(|a_k-z|\bigr)_{k\in\NN} \) \( = \) \( \left(\sqrt{(a_{k1}-z_1)^2+\ldots+(a_{kn}-z_n)^2}\right)_{k\in\NN} \)

genau dann gegen \(0\) konvergiert, wenn jede der Folgen \( ( a_{kj}-z_j)_{k\in\NN} \) gegen \(0\) konvergiert.

4.2.4. Beispiele.

  1. Die durch \( a_k:=\left( \begin{array}{c} k^{1/k}\\\sqrt{k+1}-\sqrt k \end{array} \right) \) definierte Folge \( (a_k)_{k\in\NN} \) ist konvergent, es gilt

    \( \lim\limits_{k\to\infty} a_k \) \( = \left( \begin{array}{l} \lim\limits_{k\to\infty}k^{1/k}\\ \lim\limits_{k\to\infty}\kern2pt\Bigl(\sqrt{k+1}-\sqrt k\kern2pt\Bigr) \end{array} \right) \) \( = \left( \begin{array}{c} 1\\0 \end{array} \right) \)

  2. Die durch \( b_k:=\left( \begin{array}{c} 1/k\\\sin k \end{array} \right) \) definierte Folge \( (b_k)_{k\in\NN} \) ist divergent, weil die zweite Komponentenfolge nicht konvergiert.

Genau wie im eindimensionalen Fall gilt allgemein:

4.2.5. Konvergenzkriterium von Cauchy.

Eine Folge \( (a_k)_{k\in\NN}\) in \( \RR^n \) konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist, wenn also gilt:

\( \forall\kern2pt\epsilon>0\quad \) \( \exists\kern2ptk_0^{}\in\NN\quad \) \( \forall\kern2ptk,\ell>k_0^{}\colon{}\quad \) \( \left|a_k-a_\ell\right| \lt \epsilon \).

Stetigkeit können wir wie im eindimensionalen Fall mit Umgebungen oder mit Folgen definieren.

4.2.6. Definition.

Es sei \( D\subseteq\RR^n \), und \( x_0^{}\in D \).

Eine Funktion \( f\colon D\to\RR^k \) heißt stetig in \(x_0\), wenn gilt:

\( \forall\kern2pt\epsilon>0 \quad \) \( \exists\kern2pt\delta>0 \quad \) \( \forall\kern2pt x\in D\colon{}\quad \) \( \bigl(|x-x_0^{}| \lt \delta \) \( \implies \) \( |f(x)-f(x_0^{})| \lt \epsilon \bigr) \).

Die Funktion \(f\) heißt stetig auf \(D\), falls sie in jedem Punkt von \(D\) stetig ist.

4.2.7. Lemma.

Es sei \( D\subseteq\RR^n \) und \( x_0^{}\in D \).

Eine Funktion \( f\colon D\to\RR^k \) ist genau dann stetig in \(x_0\), wenn für jede gegen \(x_0\) konvergente Folge \( (x_j)_{j\in\NN} \) in \(D\) die Folge \( \bigl(f(x_j)\bigr)_{j\in\NN} \) der Funktionswerte gegen \( f(x_0^{}) \) konvergiert.

Wie im eindimensionalen Fall gilt:

4.2.8. Satz.

Summen, Produkte, Quotienten (soweit definiert) von reellwertigen stetigen Funktionen sind wieder stetig.

Für vektorwertige Funktionen kann man immerhin noch Summen und skalare Vielfache bilden.

In jedem Fall sind Kompositionen stetiger Funktionen wieder stetig.

4.2.9. Beispiel.

Für \( 1\le j\le n \) ist die Projektion

\( \pi_j\colon\RR^n\to\RR\colon{} \) \( (x_1,\ldots,x_n)\transp \mapsto x_j \)

stetig.

Wir wollen die Stetigkeit bei \( a\in\RR^n \) nachweisen.

Zu \( \epsilon \gt 0 \) müssen wir \( \delta \gt 0 \) so finden, dass gilt:

\( | x-a | < \delta \pause \implies |\pi_j(x)-\pi_j(a)|<\epsilon \).

Wegen \( | x-a | \) \( = \sqrt{\vphantom{)^2}(x_1-a_1)^2+\cdots+(x_n-a_n)^2} \) \( \ge \sqrt{\vphantom{)^2}\smash{(x_j-a_j)^2}} \) \( = |x_j-a_j| \) \( = |\pi_j(x)-\pi_j(a)| \)

können wir einfach \( \delta=\epsilon \) verwenden.

Konstante Funktionen sind offensichtlich stetig.

Aus 4.2.9 und 4.2.8 erhalten wir:

4.2.10. Lemma.

  1. Jede Polynomfunktion

    \( p\colon\RR^n\to\RR\colon{} \) \( (x_1,\ldots,x_n)\transp \) \( \mapsto \sum\limits_{\alpha\in J} a_\alpha^{}\kern2ptx_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} \) \( = \color{blue}{\sum\limits_{\alpha\in J}a_\alpha^{}\kern2ptx^{\alpha}} \)

    in \(n\) Variablen ist stetig.

    Hier ist \( J\subset \NN_0^n \) eine endliche Menge von Multi-Indizes \( \alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) \), und \( x^\alpha:=x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} \).

  2. Jede gebrochen rationale Funktion

    \( f\colon D\to\RR\colon{} \) \( (x_1,\ldots,x_n)\transp \) \( \mapsto \frac{p(x_1,\ldots,x_n)}{q(x_1,\ldots,x_n)} \)

    (mit Polynomen \(p\) und \(q\)) in \(n\) Variablen ist stetig auf

    \( D:= \) \( \bigset{\left( \begin{matrix} x_1\\\vdots\\x_n \end{matrix}\right) \in\RR^n}{q(x_1,\ldots,x_n)\ne0} \).

Mit der Schreibweise \( |\alpha|=\sum_{j=1}^n\alpha_j \) kann man auch über alle \( \alpha \) mit \( |\alpha|\le \alert{N} \) summieren; hier ist \( \alert{N=\max\bigset{|\alpha|}{\alpha\in J, a_\alpha\ne0}} \) der Totalgrad des Polynoms.

4.2.11. Beispiel.

Das Polynom

\( f(x_1^{},x_2^{},x_3^{}):= \) \( x_1^2 + 2\kern2pt x_1^{}\kern2pt x_3^{} - 4\kern2pt x_2^4\kern2pt x_3^{} +17 \) \( = \) \( \sum\limits_{\alpha\in J} a_\alpha^{}\kern2pt x_1^{\alpha_1}\kern2pt x_2^{\alpha_2}\kern2pt x_3^{\alpha_3} \)

benutzt die Menge \( J = \) \( \bigl\{(2,0,0), (1,0,1), (0,4,1), (0,0,0) \bigr\} \) von Multi-Indizes, die Koeffizienten sind

\( a_{(2,0,0)}= 1 \), \( a_{(1,0,1)}= 2 \), \( a_{(0,4,1)}=-4 \), \( a_{(0,0,0)}=17 \).

Der Totalgrad ist

\( \max\left\{\begin{matrix}|(2,0,0)|,|(1,0,1)|,\\|(0,4,1)|,|(0,0,0)|\end{matrix}\right\} \) \( = \max\{2,2,5,0\} \) \( = 5 \).

4.2.12. Beispiel.

Das Polynom

\( q(x,y,u,v):= \) \( (x-u)^2 + (y-v)^2 \)

beschreibt das Quadrat des euklidischen Abstands zwischen den Punkten \( (x,y) \) und \( (u,v) \) in \(\RR^n\).

Wir können es formal schreiben als

\( q(x,y,u,v) \) \( = \) \( \sum\limits_{\alpha\in J} a_\alpha^{}\kern2pt x^{\alpha_x}\kern2pt y^{\alpha_y}\kern2pt u^{\alpha_u}\kern2pt v^{\alpha_v} \),

dann sind die Koeffizienten

\( a_{(2,0,0,0)} = 1 \), \( a_{(1,0,1,0)} = -2 \), \( a_{(0,0,2,0)} = 1 \)

\( a_{(0,2,0,0)} = 1 \), \( a_{(0,1,0,1)} = -2 \), \( a_{(0,0,0,2)} = 1 \).

Der euklidische Abstand \(d\) wird beschrieben durch die Komposition des Polynoms \(q\) mit der (stetigen) Wurzelfunktion:

Also ist

\( d\colon \RR^2\times\RR^2 \mathbin{\hat=} \RR^4 \to\RR\colon{} \) \( \bigl((x,y),(u,v)\bigr) \mapsto \sqrt{q(x,y,u,v)} \)

eine stetige Funktion.

4.2.13. Beispiel.

Die gebrochen rationale Funktion

\( f\colon\RR^2\setminus\left\{\binom00\right\}\to\RR \colon{} \) \( \binom xy\mapsto \frac{x+y}{x^2+y^2} \)

ist stetig.

Es gibt aber keine stetige (!) Fortsetzung an der Stelle \( \binom00 \):

Die durch \( a_n:=\left( \begin{array}{c} 1/n\\-1/n \end{array} \right) \) bzw. \( b_n:=\left( \begin{array}{c} 1/n\\0 \end{array} \right) \) definierten Folgen konvergieren beide gegen \(\binom00\), aber es gilt

\( \lim\limits_{n\to\infty}f(a_n) \) \( = \lim\limits_{n\to\infty} 0 \) \( = 0 \) \( \ne +\infty \) \( = \lim\limits_{n\to\infty} n \) \( = \lim\limits_{n\to\infty}f(b_n) \).

(Die Folge \( (f(b_n))_{n\in\NN} \) von Funktionswerten reicht alleine schon aus, um die stetige Fortsetzung zu verhindern.)

Als Definitionsgebiete für Funktionen mehrerer Veränderlicher kommen zuerst achsenparallele Quader (wie etwa

\( [-1,4]\times[2,178]\times[0,1] \subseteq\RR^3 \))

oder offene Umgebungen \( U_\rho(z) \) in Frage.

Wir brauchen aber auch kompliziertere Mengen.

Denken Sie etwa an die vielfältigen geometrischen Formen von Bauteilen.

Um der Vielfalt einigermaßen Herr zu werden, führen wir einige topologische Begriffe ein:

4.2.14. Definitionen.

Es sei \( M\subseteq\RR^n \).

  1. Ein Punkt \( a\in M \) heißt innerer Punkt von \(M\), wenn es \( \epsilon \gt 0 \) mit \( U_\epsilon(a)\subseteq M \) gibt.

    Wir schreiben \( \alert{\inn M} \) für die Menge aller inneren Punkte von \(M\).

    Der kleine Kringel oben an der Menge deutet die Definition an: Um jeden Punkt der Menge gibt es noch eine Umgebung, die ganz in der Menge liegt.

  2. Ein Punkt \( a\in\RR^n \) heißt Randpunkt von \(M\), wenn jede Umgebung \( U_{\epsilon}(a) \) sowohl ein Element von \(M\) als auch ein Element von \( \RR^n\setminus M \) enthält.

    Wir schreiben \( \alert{\partial M} \) für die Menge aller Randpunkte von \(M\).

  3. Die Menge \( \alert{\Bar M:=M\cup\partial M} \) heißt der Abschluss von \(M\).
  4. Ein Punkt \( a\in M \) heißt isolierter Punkt von \(M\), wenn es \( \epsilon \gt 0 \) so gibt, dass \( U_\epsilon(a)\cap M=\{a\} \).

Offenbar gilt stets \( \inn M\subseteq M \subseteq \Bar M \).

4.2.15. Beispiele.

  1. Jeder Punkt einer \(\varepsilon\)-Umgebung ist innerer Punkt:

    \( \inn{\left(U_\epsilon(z)\right)} \) \( = U_\epsilon(z) \).

    Es gilt

    \( \Bar{U_\epsilon(z)} \) \( = \bigset{x\in\RR^n}{|x-z|\alert{\leq}\epsilon} \)

    und

    \( \partial\left( U_\epsilon(z)\right) \) \( = \bigset{x\in\RR^n}{|x-z|\alert{=}\epsilon} \).

  2. Es sei \( \Gamma := \bigset{ \binom{x}{\sin(1/x)} }{x>0} \) \( \subseteq\RR^2 \) der Graph der Funktion

    \( f \colon (0,+\infty)\to\RR\colon \) \( x \mapsto \sin(\frac1x) \).

    Dann gilt \( \color{blue}{\bigset{\binom0y}{-1\le y\le1}} \) \( \subseteq \partial\Gamma \).

    Einen Eindruck von einigen ausgewählten gegen Null konvergenten Folgen \((x_k)_{k\in\NN}\) (mit \(x\in\{a,b,c,d,u,v\}\)) und das Verhalten der Folge \(\bigl(f(x_k)\bigr)_{k\in\NN}\) der zugehörigen Funktionswerte können Sie sich hier interaktiv erspielen:

  3. Die Menge

    \( M:= \) \( \bigset{\binom xy\in\RR^2}{\tfrac14\kern2pt x^2+y^2 \gt 1} \) \( {} \cup\ZZ^2 \)

    besteht aus den (im folgenden Bild hellblau angedeuteten) Punkten außerhalb der Ellipse \( E:= \) \( \bigset{\binom xy\in\RR^2}{\tfrac14\kern2pt x^2+y^2=1} \) zusammen mit den isolierten Punkten \( \binom{-1}{0} \), \( \binom00 \) und \( \binom10 \).

    Die Punkte \(\binom{-2}{0}\), \(\binom20\), \(\binom01\) und \(\binom0{-1}\) sind Randpunkte, außerdem sind auch die isolierten Punkte \( \binom{-1}{0} \), \( \binom00 \) und \( \binom10 \) Randpunkte.

    Alle anderen Punkte von \(M\) sind innere Punkte.

    Außerdem sind alle Punkte der Ellipse \(E\) Randpunkte von \(M\) (die meisten von diesen gehören nicht selbst zur Menge \(M\)).

  4. Ein extremes Beispiel:

    Für \(M := \QQ^n\) (also die Menge aller Punkte mit rationalen Koordinaten in \(\RR^n\)) gilt \( \Bar M=\RR^n \) und \( \inn M=\emptyset \).

4.2.16. Definitionen.

Es sei \( M\subseteq\RR^n \).

  1. Die Menge \(M\) heißt beschränkt, wenn es eine Zahl \( S\in\RR \) so gibt, dass \( M\subseteq U_S(0) \) gilt.

  2. Die Menge M heißt offen, wenn \( \inn M = M \).
  3. Die Menge \(M\) heißt abgeschlossen, wenn \( \Bar M=M \).
  4. Die Menge M heißt kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

Zur Veranschaulichung ein furchtbar ärnstes Video:

Da der Begriff kompakt einerseits sehr wichtig ist, andererseits aber erfahrungsgemäß nur langsam in Köpfe eindringt, auch dazu noch eine leicht boshafte Veranschaulichung:

fusseliger Dozent

Der angedeutete Dozent ist sicher beschränkt; wir fragen uns, ob er kompakt sei:

Dazu wäre zu klären, ob die vom Dozenten eingenommene Teilmenge des Raumes abgeschlossen ist.
Das ist nicht ohne Weiteres klar — es scheint davon abzuhängen, wie fusselig dieser Dozent ist:
Gehören etwa die Enden der Barthaare noch dazu, oder sind diese Haare eher so wie halb offene (und nicht abgeschlossene) Intervalle?

Es gilt:

Wir geben eine Variante des Satzes von Bolzano und Weierstraß 1.6.5:

4.2.17. Satz von Bolzano und Weierstraß.

Jede beschränkte Folge in \( \RR^n \) besitzt mindestens einen Häufungspunkt

(mit anderen Worten: Es gibt eine konvergente Teilfolge).

4.2.18. Satz vom Minimum und Maximum.

Es sei \( D\subseteq\RR^n \) kompakt, und es sei \( f\colon D\to\RR^k \) stetig.

Dann ist \(f(D)\) ebenfalls kompakt.

Im Fall \(k = 1\) nimmt \(f\) auf \(D\) ein Maximum und ein Minimum an.

Die Beziehung zum eindimensionalen Satz wird erst auf den zweiten Blick offenbar:

Dort wird ausgesagt, dass das Bild eines beschränkten und abgeschlossenen (also kompakten!) Intervalls in \(\RR^{\alert{1}}\) unter einer stetigen Funktion wieder beschränkt und abgeschlossen (also kompakt) ist.

4.2.20. Kennzeichnung vektorwertiger stetiger Abbildungen.

Es sei \( D\subseteq \RR^n \).

Eine Abbildung \( f\colon D\to\RR^k \) ist genau dann stetig, wenn für jedes \( j\le k \) die Komponentenfunktion

\( f_j\colon D\to\RR \colon \) \( x\mapsto\left( \begin{array}{c} f_1(x) \\ \vdots \\ f_k(x) \end{array}\right) \)

(also die Komposition \( \pi_j^{}\circ f \) mit der Projektion \( \pi_j^{} \), vgl. 4.2.9 ) stetig ist.