\( \def\pause{} \def\,{\kern.2em} \def\implies{\Longrightarrow} \newcommand{\alert}[1]{\color{red}{#1}} \def\ds{\displaystyle} \let\epsilon\varepsilon \let\subseteq\subseteqq \let\supseteq\supseteqq \let\setminus\smallsetminus \let\le\leqq \let\leq\leqq \let\ge\geqq \let\geq\geqq \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \renewcommand{\limsup}{\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}} \renewcommand{\liminf}{\mathop{\underline{\mathrm{lim}}}} \newcommand{\redlimsup}{\mathop{\color{red}{\overline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\redliminf}{\mathop{\color{red}{\underline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\konv}[1][]{\mathbin{\mathop{\longrightarrow}\limits_{#1}}} \newcommand{\bigset}[2]{\left\{{#1}\left|\strut \vphantom{#1}\vphantom{#2}\right.\, {#2}\right\}} \newcommand{\set}[2]{\left\{\smash{#1}\left|% \vphantom{\smash{#1}}\vphantom{\smash{#2}}\right.\,\smash{#2}\right\}} \newcommand{\E}{\mathrm{e}} \newcommand{\I}{\mathrm{i}} \newcommand{\diff}{\mathop{\mathrm{\kern0pt d}}} \newcommand{\diffAt}[3]{\frac{\diff}{\diff{#2}}\,\left.{\vphantom{\frac00}#1}\,\right|_{#2=#3}} \newcommand{\partAt}[3]{\frac{\partial}{\partial{#2}}\,\left.{\vphantom{\frac00}#1}\,\right|_{#2=#3}} \newcommand{\diffgleich}{\mathbin{\,\mathop{=}\limits^{\,\prime}}\,} \newcommand{\grad}{\mathop{\mathrm{grad}}} \newcommand{\Jac}[2]{\mathrm{J}{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\Hesse}[2]{\mathrm{H}{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\Hesso}[1]{\mathrm{H}{#1}} \newcommand{\transp}{^{^{\scriptstyle\intercal}}} \)

4. Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Veränderlicher

4.1. Funktionen in mehreren Veränderlichen

Die meisten technischen oder physikalischen Größen hängen von mehreren Variablen ab:

Etwa vom Ort (das sind schon drei Koordinaten) und zusätzlich von der Zeit.

Auch grundlegende mathematische Begriffe verwenden oft mehrere Veränderliche:

Man denke etwa an geometrische Begriffe wie den Abstand zweier Punkte im Raum:

\( |x-y| = \) \( \sqrt{\!(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 + (x_3-y_3)^2\!} \)

hängt von den sechs Variablen \( x_1^{} \), \( x_2^{} \), \( x_3^{} \), \( y_1^{} \), \( y_2^{} \), \( y_3^{} \) ab.

Das bestimmte Integral \( \int\limits_a^b f(x)\,\diff x \) hängt (bei fester Funktion \(f\)) von den zwei Variablen \(a\), \(b\) ab.

4.1.1. Definition.

Unter einer Funktion in \(\alert{n}\) Veränderlichen versteht man eine Abbildung \( f\colon D\to X \) mit \( D\subseteq \RR^{\alert{n}} \).

Die Funktion \(f\) heißt reellwertig (oder skalarwertig), wenn ihr Zielbereich \(X\) in der Menge \( \RR \) aller reellen Zahlen enthalten ist.

Funktionen mit Zielbereich \( X=\RR^k \) und \(k \gt 1\) nennt man vektorwertig.

Die Veränderlichen (oder Variablen) sind also die Komponenten \( x_1^{},\ldots,x_n^{} \) von \( x=(x_1^{},\ldots,x_n^{})\transp\in D \).

Funktionen in mehreren Veränderlichen werden oft auch als Felder bezeichnet.

Damit auch wirklich jeder der Variablen Platz zum Variieren zusteht, wird man meist verlangen, dass der Definitionsbereich \(D\) wenigstens eine Umgebung \( U_\rho(m) \) \( =\bigset{x\in \RR^n}{|x-m|<\rho} \) enthält.

4.1.2. Beispiele.

  1. Temperaturverteilung (abhängig von Ort und Zeit):

    \( D\subseteq\RR^4 \),

    \( T\colon D\to \RR\colon \) \( \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2\\x_3\\t \end{array}\right) \mapsto T(x_1,x_2,x_3,t) \).

    Es liegt ein skalares Feld vor.

    Der Definitionsbereich \(D\) wäre hier sinnvollerweise das kartesische Produkt \( \Omega\times \color{blue}{I} \) des Bereichs \(\Omega\), in dem uns die Temperaturverteilung interessiert (etwa das Innere einer Brennkammer), mit einem Zeitintervall \(\color{blue}{I}\).

    Darstellung einer
  Temperaturverteilung

    Die Skizze deutet das Feld

    \( T\colon \left(\strut [-3,3]\times[-3,3]\times[0,10]\times\color{blue}{[0,1]} \right) \) \( \setminus \bigset{\left( \begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \\ t \end{smallmatrix}\right)}{t\in[0,1]} \) \( \to \RR\colon \)

    \( \left( \begin{smallmatrix} x\\ y\\ z\\ t \end{smallmatrix}\right) \) \( \mapsto \frac{t}{ x^2/2 + y^2 + (z-3)^2/9 } \)

    zum Zeitpunkt \(t = 1\) an:

    Gleiche Farbe bedeutet dieselbe Temperatur.

    Diese farbigen Schichten finden Sie in 4.1.3 als Niveaumengen wieder.

  2. Als Beispiel für eine vektorwertige Funktion können Sie etwa an das zeitabhängige Vektorfeld denken, das eine Deformation beschreibt:

    \( D\subseteq\RR^4 \),

    \( u\colon D\to\RR^3\colon \) \( \left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ t \end{array} \right) \mapsto u\left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ t \end{array} \right) \) \( = \left( \begin{array}{c} u_1(x_1,x_2,x_3,t)\\ u_2(x_1,x_2,x_3,t)\\ u_3(x_1,x_2,x_3,t) \end{array} \right) \)

    Konkreter könnte hier etwa für jedes feste \(t\) eine Drehung vorliegen, deren Drehwinkel (und -achse) von \(t\) abhängen.

    Wir beschreiben die Drehung zum Zeitpunkt \(t\) durch die Matrix \(A_t\), fassen die Raumkomponenten zusammen zu \( x=(x_1,x_2,x_3)\transp \) und erhalten

    \( u\colon D\to\RR^3\colon \) \( \left( \begin{array}{c} x \\t \end{array}\right) \mapsto u \left( \begin{array}{c} x \\t \end{array}\right) \) \( = \pause A_t \,x \).

4.1.3. Veranschaulichung.

Auch für reellwertige Funktionen mehrerer Veränderlicher kann man den Graph „betrachten“:

Zu

\( f\colon D\to\RR \colon{} \) \( x=(x_1^{},\ldots,x_n^{})\transp \) \( \mapsto f(x) = f(x_1^{},\ldots,x_n^{}) \)

mit \( D\subseteq\RR^n \) setzen wir

\( \Gamma(f) := \) \( \bigset{\left( \begin{array}{c} x\\f(x) \end{array}\right)}{x\in D} \)

\( = \) \( \bigset{\left( \begin{array}{c} x_1^{}\\\vdots\\x_n^{}\\ f(x_1^{},\ldots,x_n^{}) \end{array}\right)} {\left( \begin{array}{c} x_1^{}\\\vdots\\x_n^{} \end{array}\right)\in D} \)

\( \subseteq \RR^{n}\times\RR \) \( = \RR^{n+1} \).

Für \(n = 2\) kann man sich \( \Gamma(f) \) vorstellen als ein „Gebirge“, das sich über der Teilmenge \(D\) der \(x\)-\(y\)-Ebene erhebt:

Die Funktion \(f\) gibt die Höhe des Gebirges an.

Graph einer Funktion in zwei
				       Variablen

Die Abbildung zeigt über dem Definitionsgebiet \( D = \) \( \bigset{\ds\binom xy\in\RR^2}{ \begin{array}{c} -6\le x\le 6\\ -5\le y\le 5 \end{array}} \)

den Graph \( \Gamma(f) \) der Funktion

\( f\colon D\to\RR\colon \) \( \binom xy\mapsto 2+(\sin x)\,(\cos y) \).

Zur Unterstützung der Anschauung kann man die folgenden Linien verwenden (für jeweils feste Werte von \(x_0\), \(y_0\) bzw. \(t\)):

4.1.4. Beispiel.

Wir sehen hier Niveaulinien der Funktion

\( f\colon\bigset{\binom xy\in\RR^2}{\! \begin{smallmatrix} \! -6\le x\le 6,\!\\ \! -5\le y\le 5 \end{smallmatrix}\!} \to\RR\colon{} \) \( \binom xy \mapsto 2+(\sin x)\,(\cos y) \)

zum Niveau \( t \in \{\frac32, 2, \frac{14}5\} \) (das Sie interaktiv mit dem Schieberegler links auswählen können):

Sehr interessant sind bei dieser Funktion die im Graph enthaltenen Geraden, die man in den Niveaumengen zum Niveau \(2\) findet.

4.1.5. Beispiel.

Die Funktion

\( f\colon \RR^2\setminus\left\{\binom00\right\} \to\RR\colon{} \) \( \binom xy\mapsto \frac{x+y}{x^2+y^2} \)

hat als Niveaulinien die (durch die Definitionslücke unterbrochene) Gerade \(y=−x\) (zum Niveau \(c = 0\)) sowie die Kreise durch \( \binom00 \) mit Mittelpunkt auf der Geraden \(y = x\) (ebenfalls unterbrochen).

Niveaulinien Niveaulinien

An der Stelle \(\binom00\) ist die Funktion aus 4.1.5 nicht definiert (wir haben ja — aus gutem Grund — als Definitionsbereich \(\RR^2\setminus\{\binom00\}\) und nicht ganz \(\RR^2\) genommen).

Wenn man versucht, an der Stelle \(\binom00\) mutwillig einen Funktionswert festzusetzen, wird man niemals eine stetige Funktion erhalten (die Funktion \(f\) ist stetig, aber nicht stetig fortsetzbar).

Näheres diskutieren wir im nächsten Abschnitt.

Ein weiteres Beispiel für einen Funktionsgraph und Niveaulinien ist als interaktiv bewegliche x3d-Version im Kontext von 4.9.5 entstanden.