\( \def\pause{} \newcommand{\alert}[1]{\color{red}{#1}} \def\ds{\displaystyle} \let\epsilon\varepsilon \let\subseteq\subseteqq \let\supseteq\supseteqq \let\le\leqq \let\leq\leqq \let\ge\geqq \let\geq\geqq \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \renewcommand{\limsup}{\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}} \renewcommand{\liminf}{\mathop{\underline{\mathrm{lim}}}} \newcommand{\redlimsup}{\mathop{\color{red}{\overline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\redliminf}{\mathop{\color{red}{\underline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\konv}[1][]{\mathbin{\mathop{\longrightarrow}\limits_{#1}}} \newcommand{\bigset}[2]{\left\{{#1}\left|\strut \vphantom{#1}\vphantom{#2}\right.\, {#2}\right\}} \newcommand{\set}[2]{\left\{\smash{#1}\left|% \vphantom{\smash{#1}}\vphantom{\smash{#2}}\right.\,\smash{#2}\right\}} \newcommand{\E}{\mathrm{e}} \newcommand{\I}{\mathrm{i}} \newcommand{\diff}{\mathop{\mathrm{\kern0pt d}}} \newcommand{\diffAt}[3]{\frac{\diff}{\diff{#2}}\,\left.{\vphantom{\frac00}#1}\,\right|_{#2=#3}} \newcommand{\partAt}[3]{\frac{\partial}{\partial{#2}}\,\left.{\vphantom{\frac00}#1}\,\right|_{#2=#3}} \newcommand{\diffgleich}{\mathbin{\,\mathop{=}\limits^{\,\prime}}\,} \newcommand{\grad}{\mathop{\mathrm{grad}}} \newcommand{\Jac}[2]{\mathrm{J}{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\Hesse}[2]{\mathrm{H}{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\Hesso}[1]{\mathrm{H}{#1}} \)

Der Mittelwertsatz der Integralrechnung

Dieser Mittelwertsatz 3.6.2 hilft bei der numerischen Bestimmung von bestimmten Integralen (ohne eine Stammfunktion für die zu integrierende Funktion zu kennen).

Er wird auch im Beweis des Hauptsatzes der Differential-und Integralrechnung 3.6.3 benutzt.

3.6.2. Mittelwertsatz der Integralrechnung.

Sei \( f\colon[a,b]\to\RR \) stetig. Dann existiert \( \xi\in[a,b] \) mit \( \int\limits_a^b f(x)\,\diff x = f(\xi)\,(b-a) \).

In der folgenden Skizze können Sie versuchen, die Stelle \(\xi\) so zu bewegen, dass der Unterschied zwischen der Rechteckfläche \(A_\xi := f(\xi)\,(b-a)\) möglichst nah am Wert des Integrals \(\int\limits_a^b f(x)\,\diff x\) liegt.
Sie können auch die Intervallgrenzen \(a\) bzw. \(b\) ändern.