\( \def\pause{} \newcommand{\alert}[1]{\color{red}{#1}} \def\ds{\displaystyle} \let\epsilon\varepsilon \let\subseteq\subseteqq \let\supseteq\supseteqq \let\setminus\smallsetminus \let\le\leqq \let\leq\leqq \let\ge\geqq \let\geq\geqq \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \renewcommand{\limsup}{\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}} \renewcommand{\liminf}{\mathop{\underline{\mathrm{lim}}}} \newcommand{\redlimsup}{\mathop{\color{red}{\overline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\redliminf}{\mathop{\color{red}{\underline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\konv}[1][]{\mathbin{\mathop{\longrightarrow}\limits_{#1}}} \newcommand{\bigset}[2]{\left\{{#1}\left|\strut \vphantom{#1}\vphantom{#2}\right.\, {#2}\right\}} \newcommand{\set}[2]{\left\{\smash{#1}\left|% \vphantom{\smash{#1}}\vphantom{\smash{#2}}\right.\,\smash{#2}\right\}} \newcommand{\E}{\mathrm{e}} \newcommand{\I}{\mathrm{i}} \newcommand{\diff}{\mathop{\mathrm{\kern0pt d}}} \newcommand{\diffAt}[3]{\frac{\diff}{\diff{#2}}\,\left.{\vphantom{\frac00}#1}\,\right|_{#2=#3}} \newcommand{\partAt}[3]{\frac{\partial}{\partial{#2}}\,\left.{\vphantom{\frac00}#1}\,\right|_{#2=#3}} \newcommand{\diffgleich}{\mathbin{\,\mathop{=}\limits^{\,\prime}}\,} \newcommand{\grad}{\mathop{\mathrm{grad}}} \newcommand{\Jac}[2]{\mathrm{J}{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\Hesse}[2]{\mathrm{H}{#1}\left(#2\right)} \newcommand{\Hesso}[1]{\mathrm{H}{#1}} \newcommand{\oberS}{\overline S} \newcommand{\unterS}{\underline S} \)

3.6. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

3.6.1. Definition.

Es sei \( f\colon[a,b]\to\RR \) integrierbar.

Die Funktion

\( F\colon[a,b]\to\RR\colon{} \) \( \ds \alert{x}\mapsto\int\limits_a^{\alert{x}} f(t)\,\diff t \)

heißt Flächenfunktion zu \(f\) bezüglich \([a, b]\).

Diese Flächenfunktion misst orientierte Flächen:

Flächenteile, die unterhalb der \(x\)-Achse liegen, gehen mit negativem Vorzeichen ein.

In der folgenden Skizze können Sie die Stellen \(a\) und \(x\) durch Verschieben der entsprechenden Punkte auf der gelben Steuerungslinie interaktiv verändern. Der Wert der Flächenfunktion \(F\) wird auf der vertikalen Skala ganz rechts angezeigt:

3.6.2. Mittelwertsatz der Integralrechnung.

Sei \( f\colon[a,b]\to\RR \) stetig.

Dann existiert \( \xi\in[a,b] \) mit \( \int\limits_a^b f(x)\,\diff x = f(\xi)\,(b-a) \).

Beweis als Fingerübung zum Zwischenwertsatz

Weil \(f\) stetig ist, existieren \( m := \min\set{f(x)}{x\in[a,b]} \) und \( M := \max\set{f(x)}{x\in[a,b]} \), und es gilt

\( m\cdot(b-a) \) \( = \unterS(f,\{a,b\}) \) \( \le \int\limits_a^b f(x)\,\diff x \) \( \le \oberS(f,\{a,b\}) \) \( = M\cdot(b-a) \),

also

\( m\le\dfrac{\int\limits_a^b f(x)\,\diff x}{b-a}\le M \).

Der Zwischenwertsatz liefert \( \xi\in[a,b] \) mit \( f(\xi)=\frac{\int\limits_a^b f(x)\,\diff x}{b-a} \),

und die Behauptung folgt.

Wenn Sie möchten, können Sie
hier mit dem Mittelwertsatz spielen.

3.6.3. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Sei \( f\colon[a,b]\to\RR \) stetig.

Dann ist die Flächenfunktion

\( F(\alert{x}) := \int\limits_a^{\alert{x}} f(t)\,\diff t \)

differenzierbar, und für die Ableitung \(\frac{\diff}{\diff x}F(x) = F'(x)\) gilt

\( \alert{F'(x) = f(x)} \).

Beweis als Fingerübung zum Differentialquotient.

Wir bestimmen die Ableitung als Differentialquotient (siehe 2.1.3), sollen also klären, dass \( \lim\limits_{h\to 0}\frac{F(x^{}+h)-F(x^{})}h \) existiert und gleich \(f(x)\) ist.

Nach dem Mittelwertsatz 3.6.2 gibt es zu jedem \( h\in[0,b-x] \) ein \( \xi_h\in[x,x+h] \) so, dass gilt:

\( F(x+h) - F(x) \) \( = \int\limits_x^{x+h} f(x)\,\diff x \) \( = f(\xi_h)\cdot h \).

Damit ergibt sich der rechtsseitige Funktionsgrenzwert \( \lim\limits_{h\searrow0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h} \) \( = \lim\limits_{h\searrow0} f(\xi_h) \) \( = f(x) \).

Analog ergibt sich der linksseitige Funktionsgrenzwert ebenfalls als (existent und gleich) \( f(x) \); damit gilt also wirklich \( F'(x) = f(x) \), wie behauptet.