Wir erläutern einen Teil der Mathematik hinter einem hübschen (und schon etwas älteren) Modell: Dieses besteht aus zwei auf einer Metallachse gegeneinander
verdrehbaren parallelen Platten, zwischen denen Fäden gespannt
sind.
Das Modell spielt auch die Starrolle in dem
YouTube-Video Einschalige Hyperboloide erzeugt als Schnurmodell
.
Wir bieten die Erklärungen in zwei Teilen (als PDF-Dateien):
Im ersten Teil beschreiben wir ein altes (früher im Gymnasium verwendetes) Modell zur Veranschaulichung einschaliger Hyperboloide als Regelflächen, und bestimmen die zugehörige Quadrik-Gleichung.
Im zweiten Teil bestimmen wir für die entstehenden Rotationskörper das
Volumen und die Oberfläche, jeweils in Abhängigkeit vom
Drehwinkel. Die Abhängigkeit der Oberfläche vom Drehwinkel birgt
Überraschungen.
Die Bestimmung der Oberfläche erfordert Methoden, die weit über die
im ersten Teil verwendeten
hinausgehen. Deswegen behandeln wir diese Fragen separat
(im zweiten Teil).
Die Darstellung ist so formuliert, dass sie für (motivierte und interessierte) Studierende der Ingenieurwissenschaften auf der Grundlage ihrer Ausbildung in Höherer Mathematik 1 (für den ersten Teil) bzw. in Höherer Mathematik 1, 2 und 3 (für den zweiten Teil) verständlich ist.
In früheren Jahren wurde im Mathematik-Unterricht in Gymnasien noch intensiv Elementargeometrie und auch höhere Geometrie unterrichtet. Dabei konnte das hier beschriebene Modell der Firma Phywe zum Einsatz kommen: Es erlaubt die interaktive Erfahrung mit dem Phänomen, dass eine gekrümmte Fläche durchaus als Vereinigung gerader Linien entstehen kann. Solche Flächen heißen Regelflächen, sie können sehr kompliziert sein.
Die hier entstehende Fläche ist nicht nur vergleichsweise einfach (beschrieben durch eine quadratische Gleichung in drei Variablen), sondern sie lässt die Überdeckung durch Geraden auf zwei verschiedene Arten zu. Außerdem kommen solche Flächen durchaus in Ingenieuranwendungen vor: etwa im Bauingenieurwesen (Kühl-, Funk-, Wassertürme, …) oder versteckt in Getrieben mit Hyperboloidverzahnung.
Die Bilder zeigen den Sydney Tower und ein Getriebe-Modell des Fachbereichs Mathematik der Universität Tübingen.
Unter den Quadriken gibt es einen weiteren Typ von Regelflächen, die im Bauwesen eingesetzt werden: Hyperbolische Paraboloide, wie zum Beispiel das Dach des Alsterbads in Hamburg.
Lust auf mehr Mathematik? Versuchen Sie mal die interaktiven
Seiten hier:
https://info.mathematik.uni-stuttgart.de/HM-Stroppel-Material/EiS-Tee/