Die Funktion besitzt in ein lokales (oder relatives) Maximum
,
wenn es eine Umgebung
so gibt, dass gilt:
.
Die Funktion besitzt in ein lokales (oder relatives) Minimum
,
wenn es eine Umgebung
so gibt, dass gilt:
.
Man nennt
ein lokales Extremum, wenn
lokales Minimum oder Maximum ist.
Kann man
durch ersetzen, so heißt das Extremum
(Minimum/Maximum) global (oder auch absolut).
In diesem Fall
gilt
bzw.
.
Bei jedem Extremum einer differenzierbaren Funktion muss die
Tangente waagrecht liegen, und also die Ableitung verschwinden:
2.4.2. Lemma.
Es sei ein Intervall und
.
Ist ein innerer Punkt von derart, dass in ein lokales
Extremum aufweist und in differenzierbar ist,
so gilt
.
2.4.3. Satz von Rolle.
Es sei .
Die Funktion
sei stetig in
und
differenzierbar in
.
Ferner sei
.
Dann gibt es eine Stelle
mit
.
2.4.4. Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
Es sei
stetig und im Innern des Intervalls
differenzierbar.
Dann gibt es ein
mit
.
2.4.5. Bemerkungen.
Geometrisch interpretiert, sagt der Mittelwertsatz das Folgende:
Es gibt im Innern des Intervalls
(wenigstens) eine Stelle, an der die
Tangente die gleiche Steigung hat wie die Sekante,
die die Punkte
und
verbindet.
Hier ist ein interaktives Beispiel:
Sie können die Ränder des Intervalls ändern.
Manchmal gibt es mehr als eine Stelle, an der die Ableitung mit der
Sekantensteigung übereinstimmt - dann heißt die zweite Stelle
(zur Unterscheidung, und damit Sie einen weiteren
griechischen Buchstaben trainieren).
Wenn Sie und beide jeweils ganz nach außen ziehen,
erhalten Sie die Situation des Satzes von Rolle.
Der Satz von Rolle ist in der Tat ein Spezialfall des Mittelwertsatzes.
Man beweist ihn aber zuerst separat, weil er beim Beweis des
Mittelwertsatzes hilfreich ist.
Aus dem Mittelwertsatz ergibt sich die Kennzeichnung konstanter
Funktionen durch das Verschwinden der Ableitung, siehe 2.1.6.
2.4.6. Funktionen mit gleicher Ableitung.
Es seien
und
beide stetig auf
und
differenzierbar in
.
Ferner gelte
.
Dann unterscheiden sich und nur um eine additive Konstante:
Es gilt
.
2.4.7. Kennzeichnung der Polynome.
Eine -mal differenzierbare Funktion
ist genau dann ein Polynom vom Grad höchstens ,
wenn die Nullfunktion ist.
Der Grad des Polynoms ist dann genau ,
wenn noch nicht Null ist.
Mit anderen Worten:
Die Polynome vom Grad höchstens bilden die
Lösungsmenge
der Differentialgleichung
.
[Beweis durch Induktion nach , mit Hilfe von 2.4.6.]
2.4.8. Kennzeichnung monotoner Funktionen.
Die Funktion
sei auf dem Intervall
stetig und
im Innern differenzierbar.
Für alle
gelte
.
Dann ist auf dem Intervall streng monoton fallend.
Schwächt man die Bedingung
ab zu
,
so ist die
Funktion jedenfalls monoton fallend.
Die Funktion ist (streng) monoton steigend, wenn ihre Ableitung
nie negativ (bzw. immer positiv) ist.