2.5. Die Regel von l’Hospital

Wir stellen eine Methode vor, mit der man viele Funktionsgrenzwerte der Form „$\frac{0}{0}$“ oder „$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$“ bestimmen kann.

Dabei betrachten wir sowohl Grenzwerte an Stellen $c$ im Innern eines Definitionsintervalls $(a,b)$ als auch das Verhalten an den Rändern, und wir lassen auch $a=-\mathrm{\infty }$ oder $b=+\mathrm{\infty }$ zu.

2.5.1. Regel von l’Hospital.

Die reellwertigen Funktionen $f$ und $g$ seien definiert, stetig und differenzierbar in allen Punkten von $(a,b)$ außer eventuell einem einzigen Punkt $c$.

Für alle $x$ im Definitionsbereich sei $g^{\prime }(x)\ne 0$.

Wir betrachten die folgenden Fälle:

• • ${\text{N}}_a\underset{x\searrow a}{lim}f(x)=0=\underset{x\searrow a}{lim}g(x)$
  • ${\text{U}}_a\underset{x\searrow a}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }=\underset{x\searrow a}{lim}g(x)$
• • ${\text{N}}_b\underset{x\nearrow b}{lim}f(x)=0=\underset{x\nearrow b}{lim}g(x)$
  • ${\text{U}}_b\underset{x\nearrow b}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }=\underset{x\nearrow b}{lim}g(x)$
• • ${\text{N}}_c\underset{x\to c}{lim}f(x)=0=\underset{x\to c}{lim}g(x)$
  • ${\text{U}}_c\underset{x\to c}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }=\underset{x\to c}{lim}g(x)$

Aus der Existenz des Grenzwerts

• ${\rho }_a:=\underset{x\searrow a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$
• bzw.
• ${\rho }_b:=\underset{x\nearrow b}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$
• bzw.
• ${\rho }_c:=\underset{x\to c}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

folgt dann jeweils auch

• $\underset{x\searrow a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}={\rho }_a$
• bzw.
• $\underset{x\nearrow b}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}={\rho }_b$
• bzw.
• $\underset{x\to c}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}={\rho }_c$.

Aus der Existenz von $lim\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ folgt in diesen Fällen ( ${\text{ N}}_a$, ${\text{ N}}_b$, ${\text{ N}}_c$, ${\text{ U}}_a$, ${\text{ U}}_b$, ${\text{ U}}_c$ ) also nicht nur die Konvergenz, sondern auch die Gleichheit der Grenzwerte $lim\frac{f(x)}{g(x)}=lim\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$.

Die Regel von l’Hospital lässt sich auch erweitern auf Probleme der Form „$\frac{-\mathrm{\infty }}{+\mathrm{\infty }}$“, „$\frac{+\mathrm{\infty }}{-\mathrm{\infty }}$“ oder „$\frac{-\mathrm{\infty }}{-\mathrm{\infty }}$“:

Man kann ja einen Faktor „$-1$“ vor den Grenzwert ziehen.

Auch in diesen Fällen folgt dann aus der Existenz des Grenzwerts $lim\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ die Gleichheit $lim\frac{f(x)}{g(x)}=lim\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$.

2.5.2. Beispiel.

Der Grenzwert $\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2+x-2}{x^2-1}$ ist von der Form „$\frac{0}{0}$“

(genauer: es liegt Situation ${\text{N}}_c$ mit $c=1$ vor).

Die Konvergenz $\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2+x-2)}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2-1)}}$ $=\underset{x\to 1}{lim}\frac{2x+1}{2x}$ $=\frac{3}{2}$ liefert nach der Regel von l’Hospital auch $\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2+x-2}{x^2-1}$ $=\frac{3}{2}$.

Wir könnten diesen Grenzwert aber auch leicht durch Vereinfachung bestimmen:

$\frac{x^2+x-2}{x^2-1}$ $=\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+1)}$ $=\frac{(x+2)}{(x+1)}$ $\underset{x\to 1}{⟶}\frac{3}{2}$.

2.5.3. Beispiel.

Auch der Grenzwert $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (\cos x)}{x}$ ist von der Form „$\frac{0}{0}$“.
(es liegt Situation ${\text{N}}_c$ mit $c=0$ vor).

Die Regel von l’Hospital führt uns auf

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (\cos x)}{x}$ $=\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\frac{1}{\cos x}\cdot (-\sin x)}{1}}$ $=0$.

2.5.4. Beispiel.

Mit $\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos (3x)}{1-\cos x}$ liegt noch einmal der Fall „$\frac{0}{0}$“ vor.

Die Regel von l’Hospital führt nicht unmittelbar zum Erfolg:

Auch $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(1-\cos (3x))}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(1-\cos x)}}$ $=\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{3\sin (3x)}{\sin x}}$ ist von der Form „$\frac{0}{0}$“. Wir wenden das Verfahren noch einmal an:

$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{)}_{}^2(1-\cos (3x))}{(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{)}_{}^2(1-\cos x)}}$ $=\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(3\sin (3x))}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin x)}}$ $=\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{9\cos (3x)}{\cos x}}$ $=9$.

2.5.5. Beispiel.

Der Grenzwert $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^n}{{\mathrm{e}}^x}$ ist von der Form „$\frac{+\mathrm{\infty }}{+\mathrm{\infty }}$“: genauer liegt Situation ${\text{ U}}_{+\mathrm{\infty }}$ vor.

Die Regel von l’Hospital liefert wieder nicht sofort ein Ergebnis:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^n)}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}({\mathrm{e}}^x)}}$ $=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{n{x}^{n-1}}{{\mathrm{e}}^x}}$

ist (für $n>1$) immer noch von der Form „$\frac{+\mathrm{\infty }}{+\mathrm{\infty }}$“.

Wir müssen das Verfahren $n$-mal anwenden (also zu $n$-ten Ableitungen übergehen):

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^n}{{\mathrm{e}}^x}=$ $\cdots =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{)}_{}^n(x^n)}{(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{)}_{}^n({\mathrm{e}}^x)}$ $=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{n!}{{\mathrm{e}}^x}$ $=0$.

Dabei müssen wir nach jedem Schritt kontrollieren, ob immer noch eine der Situationen ${\text{ N}}_a$, ${\text{ N}}_b$, ${\text{ N}}_c$, ${\text{ U}}_a$, ${\text{ U}}_b$ oder ${\text{ U}}_c$ vorliegt!

2.5.6. Bemerkung.

Mit Hilfe der Grenzwertsätze können wir 2.5.5 ausdehnen:

Ist $p(x)\in {\mathrm{Pol}}_{}\mathbb{R}$ ein beliebiges Polynom, so gilt $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{p(x)}{{\mathrm{e}}^x}=0$.

Mit anderen Worten:
Die Exponentialfunktion wächst schließlich stärker als jedes Polynom.

2.5.7. Beispiel.

Der Grenzwert $\underset{x\to 0+0}{lim}\frac{\sqrt{x}}{\sin x}$ ist von der Form „$\frac{0}{0}$“: es liegt Situation ${\text{ N}}_a$ für $a=0$ vor.

Wir berechnen $\underset{x\to 0+0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ $=\underset{x\to 0+0}{lim}\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\cos x}$ $=+\mathrm{\infty }$.

Die Regel von l’Hospital liefert also

$\underset{x\to 0+0}{lim}\frac{\sqrt{x}}{\sin x}$ $=+\mathrm{\infty }$.

2.5.8. Beispiel.

Ausdrücke der Form „$0\cdot (+\mathrm{\infty })$“ oder „$0\cdot (-\mathrm{\infty })$“ lassen sich manchmal zurückführen auf Probleme, die mit der Regel von l’Hospital geklärt werden.

So ist etwa $\underset{x\to 0+0}{lim}(x\ln x)$ $=\underset{x\to 0+0}{lim}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}$ von der Form „$\frac{-\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$“:

Mit $f(x):=\ln x$ und $g(x):=\frac{1}{x}$ berechnen wir $\underset{x\to 0+0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ $=\underset{x\to 0+0}{lim}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}$ $=\underset{x\to 0+0}{lim}\frac{1}{x}\cdot \frac{-x^2}{1}$ $=\underset{x\to 0+0}{lim}(-x)$ $=0$ und erhalten $\underset{x\to 0+0}{lim}(x\ln x)=0$.

2.5.9. Bemerkung.

Es gibt Quotienten von Funktionen, bei denen auch durch beliebig häufiges Ableiten von Zähler und Nenner kein Grenzwert festzustellen ist.

In solchen Fällen hilft die Regel von l’Hospital nicht weiter.

2.5.10. Bemerkung.

Die Regel von l'Hospital greift auch dann noch, wenn der Quotient der Ableitungen bestimmt divergent ist:

In der Situtation ${\text{N}}_c$ folgt aus $\underset{x\to c}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=+\mathrm{\infty }$ auch wieder $\underset{x\to c}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=+\mathrm{\infty }$.

Man betrachtet zum Beweis einfach $\frac{g(x)}{f(x)}$ und $\frac{g^{\prime }(x)}{f^{\prime }(x)}$ statt $\frac{f(x)}{g(x)}$ und $\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$.

Analoges gilt natürlich auch in den Situationen ${\text{N}}_a$, ${\text{N}}_b$, ${\text{U}}_a$, ${\text{U}}_b$ oder ${\text{U}}_c$ und für bestimmte Divergenz gegen $-\mathrm{\infty }$.

2.5.11. Satz.

Es sei $f:(a,b]\to \mathbb{R}$ stetig auf dem halboffenen Intervall $(a,b]$ und differenzierbar an jeder Stelle $x$ im offenen Intervall $(a,b)$.

Wenn die Ableitungsfunktion $f^{\prime }:(a,b)\to \mathbb{R}$ stetig fortsetzbar in die Stelle $b$ ist, dann ist $f$ (einseitig) differenzierbar an der Stelle $b$, und es gilt $f^{\prime }(b)=\underset{x\to b-0}{lim}{f}^{\prime }(x)$.