Veranschaulichung der geometrischen Reihe

Die geometrische Reihe zum Parameter \({\color{blue}q}\) versucht, alle Potenzen \({\color{blue}q}^0=1\), \({\color{blue}q}^1={\color{blue}q}\), \({\color{blue}q}^2\), \({\color{blue}q}^3\), \({\color{blue}q}^4\) ... aufzusummieren.

Das ist gemeint als Grenzwertproblem:

Strebt die Folge der Partialsummen \(S_{\color{green}N} := \sum\limits_{k=0}^{\color{green}N} {\color{blue}q}^k\) gegen einen wohlbestimmten Grenzwert?

Genauer fragt man sich:

Für welche Werte von \({\color{blue}q}\) strebt die Folge \((S_{\color{green}N})_{{\color{green}N}\in\NN}\) dieser Partialsummen \(S_{\color{green}N}\) gegen einen wohlbestimmten Grenzwert?

Zur Veranschaulichung schichten wir Quader aufeinander, bei denen jeder neue entsteht, indem man den vorhergehenden mit dem Faktor \(q\) skaliert.

Durch eine elementargeometrische Überlegung (die in der rechten Skizze eingezeichneten Dreiecke sind einander ähnlich) kann man im Fall \(0\lt q \lt 1\) nicht nur die Beschränktheit der Höhe des entstehenden Turms erkennen (dies entspricht der Konvergenz der Reihe), sondern sogar die Summe der Reihe ablesen — also den Grenzwert \( \sum\limits_{k=0}^\infty {\color{blue}q}^k \) \( := \lim\limits_{{\color{green}N}\in\NN}\left(\sum\limits_{k=0}^{\color{green}N}{\color{blue}q}^k\right) \) = \( \lim\limits_{{\color{green}N}\in\NN}S_{\color{green}N} \).

Sie können in der folgenden Skizze interaktiv den Parameter \({\color{blue}q}\) ändern (auf der Skala ganz rechts) und auch einstellen, bis zu welcher Stufe \({\color{green}N}\) der Turm aufgebaut (und damit die Partialsumme \(S_{\color{green}N}\) erreicht) wird.

Wenn Sie \({\color{green}N}\) hoch genug einstellen, wird erst eine Gerade an die Stufen angelehnt, schließlich erscheinen noch farbige Dreiecke (die die Ähnlichkeitsargumente unterstützen sollen, auf die oben angespielt wird).

Oh ja, man kann das auch mit negativem \({\color{blue}q}\) untersuchen — es geht sogar noch wilder...

Für die Experten:

• Man kann die geometrische Reihe untersuchen für jede komplexe Zahl \({\color{blue}q}\); die Reihe konvergiert genau dann, wenn \(|{\color{blue}q}|\lt1\).
• Wenn die geometrische Reihe für \({\color{blue}q}\) konvergiert, dann gilt \( \sum\limits_{k=0}^\infty {\color{blue}q}^k \) \( = \dfrac1{1-{\color{blue}q}} \).
• Wenn die geometrische Reihe für \({\color{blue}q}\) nicht konvergiert, dann ist die eben angebene Summenformel kompletter Blödsinn.
• Der Schnittpunkt der an die Stufen angelehnte Gerade mit der Vertikalen existiert auch im Fall \(|{\color{blue}q}|\gt1\) (und \({\color{blue}q}\in\RR\)); er liegt auch wieder auf Höhe \(\frac1{1-{\color{blue}q}}\).
  Die Stufen der Pyramide laufen in diesem Fall aber von diesem Schnittpunkt weg!

Diese Veranschaulichung wurde inspiriert von einer Rekonstruktion der Zikkurat von Ur (der Turm zu Babel, von dem in Gen 11.4 erzählt wird, war wohl ähnlich).

Im dtv Lexikon (Band 20, Wel-Zz, Deutscher Taschenbuch Verlag 1982, Stichwort Zikkurat) findet man diese Skizze:

Die aktuelle online-Fassung im Brockhaus enthält diese Zeichnung nicht mehr.

Einen Versuch, die geometrische Reihe für komplexe Zahlen in der Rolle von \({\color{blue}q}\) zu veranschaulichen, finden Sie hier.