Das Integral-Vergleichskriterium.

Die Frage nach der Konvergenz einer Reihe ist manchmal schwer zu entscheiden, ebenso die Frage nach der Konvergenz eines uneigentlichen Integrals.

In gewissen Fällen erlaubt uns das Integral-Vergleichskriterium 3.8.1, von zwei Problemen das leichtere auszuwählen und das schwierigere mit zu erledigen:

Man betrachtet hier eine Funktion $f:[1,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ und dazu sowohl das uneigentliche Integral $\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ als auch die Reihe $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}f(j)$.

Das Integral-Vergleichskriterium sagt jetzt:

Wenn $f$ positiv und monoton fallend ist, dann haben das uneigentliche Integral $\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ und die Reihe $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}f(j)$ das gleiche Konvergenzverhalten. (Aber meistens sind die Werte verschieden!)

In der folgenden Skizze sehen Sie für die Funktion

$f:[1,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}:$ $x\mapsto x^{\alpha }$

(wenn Sie die entsprechenden Schalter rechts eingestellt haben)

• das Integral $I_N:=\underset{1}{\overset{N+1}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$,
• die Partialsumme $O_N:=\sum _{j=1}^{N}f(j)$
  (die man als Obersumme für $I_N$ interpretieren kann — wenn $f$ monoton fällt),
• die Summe $U_N:=\sum _{j=2}^{N+1}f(j)$
  (die man als Untersumme für $I_N$ interpretieren kann — wenn $f$ monoton fällt).

Sie können die Grenze $N$ und den Exponenten $\alpha$ mit den entsprechenden Reglern variieren.

Beachten Sie, dass die Achsen hier unterschiedlich skaliert sind.