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Welchen Wert hat Null hoch Null?

Markus J. Stroppel

In der hier als PDF verfügbaren Abhandlung wird zuerst an Hand der Entwicklung der Potenzrechengesetze aufgezeigt, dass die Definition \(x^0=1\) für alle \(x\in\mathbb R\) sinnvoll ist.

Dann wird die allgemeine Definition von Potenzen \(b^a\) mit \(a,b\in\mathbb R\) und \(b\gt0\) motiviert und erläutert.

Schließlich wird gezeigt, dass die (vorher schon als sinnvoll erkannte) Festsetzung \(0^0=1\) die allgemeine Potenzfunktion nicht stetig fortsetzt - dass das aber auch keine andere Fortsetzung tut.

Die Notwendigkeit der benutzten Voraussetzungen (Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, die Beschränkung auf positive reelle Zahlen als Basis) wird erläutert. Insbesondere wird aufgezeigt, dass eine Erweiterung allgemeiner Potenzen auf nicht reelle Basen zu Problemen führt.

Die Darstellung ist so formuliert, dass sie für (motivierte und interessierte) Studierende der Ingenieurwissenschaften auf der Grundlage ihrer Ausbildung in Höherer Mathematik 1/2 verständlich ist.

In der folgenden Skizze sehen Sie einen Ausschnitt aus dem Graphen der Funktion \(f\colon \mathbb R^+\times\mathbb R\to\mathbb R\colon \binom xy \mapsto x^y\) (in zwei Veränderlichen \(x\) und \(y\); hier ist \(\mathbb R^+ := (0,+\infty)\) die Menge aller positiven rellen Zahlen).

Sie können die Ansicht mit Ihrer Maus interaktiv bewegen.

Die rote Achse ist die \(x\)-Achse: dargestellt ist der Bereich \(0\lt x \leqq 8\).
Die grüne Achse ist die \(y\)-Achse: dargestellt ist der Bereich \(-4\leqq y \leqq 4\).
Entlang der blauen \(z\)-Achse werden die Funktionswerte \(f\binom xy\) abgetragen. Benötigt wird dabei nur der positive Bereich, ab \(z=7\) ist die Darstellung abgeschnitten, weil die Exponentialfunktion so rasant wächst.

Die weiße Fläche ist der Ausschnitt aus dem Funktionsgraph, die dunklen Linien darauf entstehen durch Schnitt der weißen Fläche mit horizontalen Ebenen (diese Linien zeigen also Niveaumengen).

In pink sieht man Linien auf der Fläche, die auf Parallelen zur \(x\)-Achse liegen. Solche Parallelen sind gegeben durch eine Bedingung \(y=k\) mit einer festen Zahl \(k\); der Schnitt mit dem Graphen von \( f \colon \mathbb R^+\times\mathbb R\to\mathbb R\colon \binom xy\mapsto x^y\) ist dann der Graph der Funktion \(f_k\colon\mathbb R^+\to\mathbb R\colon x\mapsto x^k\) (dabei werden die Funktionswerte entlang einer Parallelen zur \(z\)-Achse, die Argumente parallel zur \(x\)-Achse abgetragen).

Konkret eingezeichnet sind die durch \(k \in \{-2,-\frac12,\frac12,1,2\}\) gegebenen Parallelen; die (pink gefärbten) Schnitte mit dem Graphen von \(f\) sind also Teile der Graphen der Funktionen

\( \begin{array}[t]{rcl} f_2 \colon&\mathbb R^+\to\mathbb R\colon& x\mapsto x^2 \\[1ex] f_1 \colon&\mathbb R^+\to\mathbb R\colon& x\mapsto x \\[1ex] f_{1/2} \colon&\mathbb R^+\to\mathbb R\colon& x\mapsto \sqrt{x} \\[1ex] \end{array} \hspace{20mm} \) \( \begin{array}[t]{rcl} f_{-1/2} \colon&\mathbb R^+\to\mathbb R\colon& x\mapsto \frac1{\sqrt{x}} \\[1ex] f_{-2} \colon&\mathbb R^+\to\mathbb R\colon& x\mapsto \frac1{x^2} \\[1ex] \end{array} \)

Die hellblauen Linien auf der weißen Fläche liegen über Ursprungsgeraden. Solche Geraden sind (in der durch \(z=0\) definierten Ebene) gegeben durch Bedingungen der Form \(y=sx\) mit festem \(s\); für die hellblauen Linien wurde \(s\in\{-2,-1,-\frac12,\frac12,1,2\}\) verwendet. In der durch \(y=sx\) definierten vertikalen Ebene (also mit beliebigem \(z\)) kann man jede dieser Linien dann interpretieren als Graph einer Funktion \(g_s\colon \mathbb R^+\to \mathbb R\colon t\mapsto t^{st}\); dabei werden die Funktionswerte wieder entlang der \(z\)-Achse abgetragen, das Argument \(t\) läuft auf der Ursprungsgeraden \(\mathbb R\left(\begin{smallmatrix}1\\s\\0\end{smallmatrix}\right)\) - allerdings nicht in Standard-Skalierung (der Wert \(t\) wird bei \(t\left(\begin{smallmatrix}1\\s\\0\end{smallmatrix}\right)\) abgetragen).

Die hellblauen Linien lassen sich damit interpretieren als Teile der Graphen der folgenden Funktionen:

\( \begin{array}[t]{rcl} g_2 \colon&\mathbb R^+\to\mathbb R\colon& t\mapsto t^{2t} \\[1ex] g_1 \colon&\mathbb R^+\to\mathbb R\colon& t\mapsto t^{t} \\[1ex] g_{1/2} \colon&\mathbb R^+\to\mathbb R\colon& t\mapsto t^{t/2} \\[1ex] \end{array} \hspace{20mm} \) \( \begin{array}[t]{rcl} g_{-1/2} \colon&\mathbb R^+\to\mathbb R\colon& t\mapsto \frac{1}{t^{t/2}} \\[1ex] g_{-1} \colon&\mathbb R^+\to\mathbb R\colon& t\mapsto \frac1{t^t} \\[1ex] g_{-2} \colon&\mathbb R^+\to\mathbb R\colon& t\mapsto \frac1{t^{2t}} \\[1ex] \end{array} \)


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