\( \def\pause{} \let\epsilon\varepsilon \let\subseteq\subseteqq \let\supseteq\supseteqq \let\le\leqq \let\leq\leqq \let\ge\geqq \let\geq\geqq \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \renewcommand{\limsup}{\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}} \renewcommand{\liminf}{\mathop{\underline{\mathrm{lim}}}} \newcommand{\redlimsup}{\mathop{\color{red}{\overline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\redliminf}{\mathop{\color{red}{\underline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\konv}[1][]{\mathbin{\mathop{\longrightarrow}\limits_{#1}}} \newcommand{\bigset}[2]{\left\{{#1}\left|\strut \vphantom{#1}\vphantom{#2}\right.\, {#2}\right\}} \newcommand{\set}[2]{\left\{\smash{#1}\left|% \vphantom{\smash{#1}}\vphantom{\smash{#2}}\right.\,\smash{#2}\right\}} \newcommand{\E}{\mathrm{e}} \newcommand{\I}{\mathrm{i}} \)

Quadriken durch vorgegebene Punkte

Wir bestimmen die Quadrik durch die fünf Punkte \(P=\binom12\), \(Q=\binom{-1}{-2}\), \(R=\binom{4}{-2}\), \(S=\binom{t}{-1}\) und \(T=\frac15\binom{3+4t}{4-3t}\).
Sie können (mit der Maus) den Punkt \(D\) auf der durch \(x_2=-1\) gegebenen Gerade bewegen, die Quadrik verändert sich dann entsprechend.

Falls diese Quadrik sich als Ellipse ergibt, werden ihre beiden Symmetrieachsen orange angezeigt; der Schnittpunkt \(M\) der beiden Symmetrieachsen ist dann der Mittelpunkt der Ellipse.

Wenn sich eine Hyperbel ergibt, werden die beiden Asymptoten als gelbe Geraden angezeigt.

Der Punkt \(T\) ergibt sich aus \(S\) durch Spiegelung an der Geraden \(g\) durch den Ursprung, die von \(\binom{-2}{1}\) aufgespannt wird.
(Weil diese Spiegelung auch \(P\) mit \(Q\) vertauscht und den Punkt \(R\) fest lässt, geht die Punktmenge \(\{P,Q,R,S,T\}\) durch Spiegelung an der Geraden \(g\) in sich über. Deswegen ist diese Gerade \(g\) für jeden Wert von \(t\) eine Symmetrieachse der Quadrik.)

Die Quadrikgleichung setzt man an als \[ x^\intercal A_t\,x +2a_t^\intercal x+c_t=0 \] mit einer symmetrischen Matrix \(A_t=\left(\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right)\), einer Spalte \(a_t = \left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array}\right)\) und einer Konstanten \(c_t\).

Für fest gewähltes \(t\) erhält man die sechs Koeffizienten \(a_{11}\), \(a_{12}=a_{21}\), \(a_{22}\), \(a_1\), \(a_2\), \(c\), indem man die Punkte \(P,Q,R,S,T\) nacheinander in den Ansatz einsetzt: Dabei entsteht jedes Mal eine Bedingung an die Koeffizienten; diese Bedingungen sind lineare Gleichungen, und die fünf so entstehenden linearen Gleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem.

Dieses lineare Gleichungssystem hat in jedem der betrachteten Fälle (also für jedes \(t\in\mathbb R\)) einen eindimensionalen Lösungsraum, legt also die Quadrikgleichung fest bis auf einen Faktor, der die Lösungsmenge nicht beeinflusst.

In der Skizze wird für den per Maus oder Tatschfinger eingestellten Wert von \(t\) eine Lösung für \(A_t\), \(a_t\) und \(c_t\) angezeigt.
(die angezeigten Werte sind gerundet.)

Die Gestalt der entstehenden Quadrik kann man ohne allzu viel Aufwand erkennen, wenn man ein bisschen Theorie beherrscht.
Wir halten zuerst fest, dass die Determinante \(\det A_t\) das Produkt der beiden Eigenwerte von \(A_t\) ist.