Schnitt einer Quadrik mit einer Ebene

Wir sehen (als Gittermodell) einen Ausschnitt aus der Quadrik mit der Gleichung \(x_1^2+x_2^2-x_3^2=1\).
(Das ist ein einschaliges Hyperboloid.)

Außerdem ist die durch die Gleichung \(x_1-2x_3=1\) definierte Ebene dargestellt.

Der Schnitt der Ebene mit der Quadrik ist als gelbe Linie eingezeichnet.

Die Standard-Achsen sind als dünne (rote, grüne, blaue) einseitig angespitzte Röhren angedeutet, die beiden dicker angedeuteten Achsen könnten sich als Koordinatenachsen für die Ebene (einigermaßen passend zur Schnittkurve) eignen.

Man erhält eine Gleichung für den Schnitt der Ebene mit der Quadrik, in dem man z.B. die Ebenengleichung nach \(x_1\) auflöst und dann \(x_1 = 2x_3+1\) in der Quadrikgleichung substituiert:

Das führt dann auf die Gleichung \[ x_2^2 + 3x_3^2 + 4x_3 = 0 \] bzw. (nach quadratischer Ergänzung) auf \[ x_2^2 + 3\left(x_3+\frac23\right)^2 = \frac43 ; \] in den durch \(y_1=x_3+\frac23\) und \(y_2=x_2\) gegebenen Koordinaten für Punkte in der Ebene also \[ -\frac9{4}y_1^2-\frac34y_2^2 +1 = 0 . \]

Das ist eine Ellipsengleichung.

Laut dieser Gleichung scheinen die Halbachsenlängen \(\frac2{\sqrt3}\) entlang der (dick grün eingezeichneten) \(y_2\)-Achse und \(\frac23\) entlang der (dick rot eingezeichneten) \(y_1\)-Achse zu sein.

Das stimmt aber nicht:

Im Bild sehen wir deutlich, dass die Halbachsenlänge entlang der grünen Achse kleiner sein muss als die entlang der roten Achse — aber es gilt doch \(\frac2{\sqrt3} \gt \frac23\) ...

Was ist passiert?

Durch die Angabe des Koordinatentupels \( \binom {y_1} {y_2} \) wird der Punkt in der Ebene angegeben, dessen Standardkoordinaten sich ergeben als \[ \left( \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2y_1-\frac13\\ y_2\\ y_1-\frac23 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -\frac13\\ 0\\ -\frac23 \end{matrix} \right) + y_1 \left( \begin{matrix} 2\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right) + y_2 \left( \begin{matrix} 0\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right) . \]

Mit anderen Worten: Als Koordinatensystem für die Ebene wird \[ \left( \left( \begin{matrix} -\frac13\\ 0\\ -\frac23 \end{matrix} \right) ; \left( \begin{matrix} 2\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right) , \left( \begin{matrix} 0\\1\\0 \end{matrix} \right) \right) \] verwendet — das ist kein kartesisches Koordinatensystem!

In Koordinaten \(\binom{u_1}{u_2}\) bezüglich des kartesischen Koordinatensystems \[ \left( \left( \begin{matrix} -\frac13\\ 0\\ -\frac23 \end{matrix} \right) ; \frac1{\sqrt5} \left( \begin{matrix} 2\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right) , \left( \begin{matrix} 0\\1\\0 \end{matrix} \right) \right) \] ergibt sich die Gleichung \[ -\frac9{20}u_1^2-\frac34u_2^2+1=0. \] Das ist eine euklidische Normalform, wir können daraus die Halbachsenlängen korrekt ablesen als \[ \frac{2\sqrt5}3 \mbox{ und } \frac2{\sqrt3} . \]

Hätte man \(x_3 = \frac12(x_1-1)\) statt \(x_1 = 2x_3+1\) in der Quadrikgleichung substituiert, so hätte man sich womöglich verleiten lassen, unter der Hand die Basisvektoren \( \left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ \frac12 \end{matrix} \right) \), \( \left( \begin{matrix} 0\\1\\0 \end{matrix} \right) \) in ein Koordinatensystem für die Ebene einzubauen — und noch andere Halbachsenlängen aus dem Kaffeesatz gelesen...