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Wir sehen (als Gittermodell) einen Ausschnitt aus der Quadrik mit
der Gleichung
\(x_1^2+x_2^2-x_3^2=1\).
Außerdem ist die durch die Gleichung \(x_1-2x_3=1\) definierte Ebene dargestellt. Der Schnitt der Ebene mit der Quadrik ist als gelbe Linie eingezeichnet. Die Standard-Achsen sind als dünne (rote, grüne, blaue) einseitig angespitzte Röhren angedeutet, die beiden dicker angedeuteten Achsen könnten sich als Koordinatenachsen für die Ebene (einigermaßen passend zur Schnittkurve) eignen. |
Man erhält eine Gleichung für den Schnitt der Ebene mit der Quadrik, in dem man z.B. die Ebenengleichung nach \(x_1\) auflöst und dann \(x_1 = 2x_3+1\) in der Quadrikgleichung substituiert:
Das führt dann auf die Gleichung
\(
x_2^2 + 3x_3^2 + 4x_3 = 0
\)
bzw. (nach quadratischer Ergänzung) auf
\(
x_2^2 + 3\left(x_3+\frac23\right)^2 = \frac43 ;
\)
in den durch \(y_1=x_3+\frac23\) und \(y_2=x_2\) gegebenen
Koordinaten für Punkte in der Ebene also
\(
-\frac9{4}y_1^2-\frac34y_2^2 +1 = 0 .
\)
Das ist eine Ellipsengleichung.
Laut dieser Gleichung scheinen die Halbachsenlängen \(\frac2{\sqrt3}\) entlang der (dick grün eingezeichneten) \(y_2\)-Achse und \(\frac23\) entlang der (dick rot eingezeichneten) \(y_1\)-Achse zu sein.
Das stimmt aber nicht:
Im Bild sehen wir deutlich, dass die Halbachsenlänge entlang der grünen Achse kleiner sein muss als die entlang der roten Achse — aber es gilt doch \(\frac2{\sqrt3} \gt \frac23\) ...
Was ist passiert?
Durch die Angabe des Koordinatentupels \( \binom {y_1} {y_2} \) wird der Punkt in der Ebene angegeben, dessen Standardkoordinaten sich ergeben als
\( \left( \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{matrix} \right) \) \( {}= \left( \begin{matrix} 2y_1-\frac13\\ y_2\\ y_1-\frac23 \end{matrix} \right) \) \( {}= \left( \begin{matrix} -\frac13\\ 0\\ -\frac23 \end{matrix} \right) + y_1 \left( \begin{matrix} 2\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right) + y_2 \left( \begin{matrix} 0\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right) . \)
Mit anderen Worten: Als Koordinatensystem für die Ebene wird
\(
\left(
\left(
\begin{matrix}
-\frac13\\
0\\
-\frac23
\end{matrix}
\right)
;
\left(
\begin{matrix}
2\\
0\\
1
\end{matrix}
\right)
,
\left(
\begin{matrix}
0\\1\\0
\end{matrix}
\right)
\right)
\)
verwendet — das ist kein kartesisches Koordinatensystem!
In Koordinaten \(\binom{u_1}{u_2}\) bezüglich des kartesischen Koordinatensystems
\(
\left(
\left(
\begin{matrix}
-\frac13\\
0\\
-\frac23
\end{matrix}
\right)
;
\dfrac1{\sqrt5}
\left(
\begin{matrix}
2\\
0\\
1
\end{matrix}
\right)
,
\left(
\begin{matrix}
0\\1\\0
\end{matrix}
\right)
\right)
\)
ergibt sich die Gleichung
\(
-\frac9{20}u_1^2-\frac34u_2^2+1=0.
\)
Das ist eine euklidische Normalform, wir können daraus die Halbachsenlängen
korrekt ablesen als
\(
\frac{2\sqrt5}3
\)
und
\(
\frac2{\sqrt3} .
\)
Hätte man \(x_3 = \frac12(x_1-1)\) statt \(x_1 = 2x_3+1\) in der Quadrikgleichung substituiert, so hätte man sich womöglich verleiten lassen, unter der Hand die Basisvektoren \( \left( \begin{matrix} 1\\ 0\\ \frac12 \end{matrix} \right) \), \( \left( \begin{matrix} 0\\1\\0 \end{matrix} \right) \) in ein Koordinatensystem für die Ebene einzubauen — und noch andere Halbachsenlängen aus dem Kaffeesatz gelesen...
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