Der mathematische Hintergrund der hier dargestellten
Beispiele wird in
einer ausführlichen Abhandlung
erläutert.
Die Erläuterungen sind so gehalten, dass Sie für
Hörerinnen und Hörer der Veranstaltung
Höhere
Mathematik 2 für Ingenieurstudiengänge
(gehalten von Prof. Dr. M. Stroppel an der Universität
Stuttgart) zugänglich sein sollten.
Die Beispiele wurden von Richard Schmähl konstruiert.
Die durch
\(
\tilde{f}\binom{x_1}{x_2} = {}
\)
\(
\begin{cases}
\dfrac{x_1^3x_2^{}-4x_1^{}x_2^5}{x_1^2+x_2^4}+\frac52
(x_1^{}-x_2^{})^2 \,,
& \text{ falls $\binom{x_1}{x_2}\ne\binom00$}
\\
0 \,,& \text{ falls $\binom{x_1}{x_2}=\binom00$}
\end{cases}
\)
gegebene Funktion \(\tilde f \colon \mathbb
R^2\to\mathbb R\) ist auf ganz \(\mathbb R^2\) stetig
und einmal stetig partiell differenzierbar.
Außerdem ist \(\tilde f\) auf ganz \(\mathbb R^2\) zweimal partiell differenzierbar, aber die zweiten partiellen Ableitungen sind an der Stelle \(\binom{0}{0}\) nicht mehr stetig.
Die Skizze zeigt einen Ausschnitt aus dem Graphen der
Funktion \(\tilde{f}\) (gelb gefärbt), dazu
(hell blaugrau)
einen Ausschnitt aus dem Graphen des Taylorpolynoms
\(T(\tilde{f},\binom{x_1}{x_2}, \binom00) = 5x_1^2-13x_1^{}x_2^{}+5x_2^2\)
zweiter Stufe an der Stelle \(\binom00\).
Ein kreisförmiger Ausschnitt aus der Ebene \(x_3=0\) ist
dunkel grau dargestellt.
Sie können die Ansicht interaktiv bewegen.
Man kann in der Skizze deutlich erkennen: Die Funktion
\(\tilde{f}\) nimmt an der Stelle \(\binom00\) ein
lokales Minimum an, aber für das Taylorpolynom
\(T(\tilde{f},\binom{x_1}{x_2}, \binom00)\) findet man
an dieser Stelle einen Sattelpunkt.
Das Taylorpolynom zweiter Stufe stellt in diesem Fall
also keine Approximation zweiter Ordnung an die Funktion
dar:
Das ist möglich, weil die Funktion \(\tilde{f}\) nicht
zweimal stetig partiell differenzierbar ist.
Auch die durch
\(
\tilde{f}\binom{x_1}{x_2} = {}
\)
\(
\begin{cases}
\dfrac{x_1^3x_2^{}-4x_1^{}x_2^5}{x_1^2+x_2^4}+\frac52
x_1^2+x_2^3 \,,
& \text{ falls $\binom{x_1}{x_2}\ne\binom00$}
\\
0 \,,& \text{ falls $\binom{x_1}{x_2}=\binom00$}
\end{cases}
\)
gegebene Funktion \(\tilde f \colon \mathbb
R^2\to\mathbb R\) ist auf ganz \(\mathbb R^2\) stetig
und einmal stetig partiell differenzierbar, aber nicht
zweimal stetig partiell differenzierbar.
Wieder liefert das Taylorpolynom zweiter Stufe (hier gegeben durch \(T(\tilde{f},\binom{x_1}{x_2}, \binom00) = 5x_1^2-3x_1^{}x_2^{}\)) keine Approximation zweiter Ordnung für die Funktion.