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HM 2: einfacher Zusammenhang beim Schnitt eines Zylinders und eines Paraboloids

Markus Stroppel

Material

einfacher Zusammenhang beim Schnitt eines Zylinders und eines Paraboloids

Gegeben sind die Mengen \(A=\set{x\in\RR^3}{x_1^2+(x_3-1)^2\leqq 1}\) und \(B=\set{x\in\RR^3}{x_1^2+x_2^2+x_3-2 \lt 0}\).

Wenn Sie gerne technische Assoziationen haben: Hier scheint jemand (ziemlich unvorsichtig ;) in einen Zylinder zu fräsen …

In den folgenden Darstellungen können Sie jeweils interaktiv den Blickwinkel (und auch die Größe) ändern.

Hier sieht man ein Stück des Zylinders und ein Stück des Paraboloids.

Beide sind dargestellt durch ihren jeweiligen Rand (die Begrenzung).

Hier sieht man den Zylinder mit der Aussparung,
die durch Bildung der Differenzmenge \(A\smallsetminus B\) entstanden ist.

Der dick markierte Punkt auf dem Zylinder gehört zu \(A\)
und zum Rand \(\partial B\) von \(B\), aber nicht zu \(B\).

Mehrere geschlossene Kurven sind angedeutet
(im Innern des Zylinders, sogar in der Differenzmenge).

Die Menge \(A\) wird von einem Zylinder umschlossen, der Rand \(\partial A\) gehört zu \(A\) dazu (es gilt also \(A =\bar{A}\)), weil in der definierenden Ungleichung Gleichheit zugelassen ist (durch \(\leqq\)).

Die Menge \(B\) wird begrenzt von einem Rotationsparaboloid, dabei ist \(B\) die Menge aller Punkte unter dem Paraboloid. Der Rand \(\bar{B}\) (also das Paraboloid \(\set{x\in\RR^3}{x_1^2+x_2^2+x_3-2 = 0}\) selbst) gehört nicht zu \(B\), weil in der definierenden Ungleichung Gleichheit ausgeschlossen ist.

Ist \(A\smallsetminus B\) einfach zusammenhängend? Trifft die Antwort auch auf \(A\smallsetminus\bar{B}\) zu?

Markus Stroppel

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