HM 2: einfacher Zusammenhang beim Schnitt eines Zylinders und eines Paraboloids
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einfacher Zusammenhang beim Schnitt eines Zylinders und eines Paraboloids

Gegeben sind die Mengen A={x∈R3|x∈R3x12+(x3−1)2≦1x12+(x3−1)2≦1} und B={x∈R3|x∈R3x12+x22+x3−2<0x12+x22+x3−2<0}.

Wenn Sie gerne technische Assoziationen haben: Hier scheint jemand (ziemlich unvorsichtig ;) in einen Zylinder zu fräsen …

In den folgenden Darstellungen können Sie jeweils interaktiv den Blickwinkel (und auch die Größe) ändern.

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Hier sieht man ein Stück des Zylinders und ein Stück des Paraboloids.

Beide sind dargestellt durch ihren jeweiligen Rand (die Begrenzung).

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Hier sieht man den Zylinder mit der Aussparung,
die durch Bildung der Differenzmenge A∖B entstanden ist.

Der dick markierte Punkt auf dem Zylinder gehört zu A
und zum Rand ∂B von B, aber nicht zu B.

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Mehrere geschlossene Kurven sind angedeutet
(im Innern des Zylinders, sogar in der Differenzmenge).

Die Menge A wird von einem Zylinder umschlossen, der Rand ∂A gehört zu A dazu (es gilt also A=A¯), weil in der definierenden Ungleichung Gleichheit zugelassen ist (durch ≦).

Die Menge B wird begrenzt von einem Rotationsparaboloid, dabei ist B die Menge aller Punkte unter dem Paraboloid. Der Rand B¯ (also das Paraboloid {x∈R3|x∈R3x12+x22+x3−2=0x12+x22+x3−2=0} selbst) gehört nicht zu B, weil in der definierenden Ungleichung Gleichheit ausgeschlossen ist.

Ist A∖B einfach zusammenhängend? Trifft die Antwort auch auf A∖B¯ zu?

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