Zwischenwertsatz: Anwendung auf das Gleichheitsproblem

\( \def\pause{} \let\epsilon\varepsilon \let\subseteq\subseteqq \let\supseteq\supseteqq \let\le\leqq \let\leq\leqq \let\ge\geqq \let\geq\geqq \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \renewcommand{\limsup}{\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}} \renewcommand{\liminf}{\mathop{\underline{\mathrm{lim}}}} \newcommand{\redlimsup}{\mathop{\color{red}{\overline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\redliminf}{\mathop{\color{red}{\underline{\mathrm{lim}}}}} \newcommand{\konv}[1][]{\mathbin{\mathop{\longrightarrow}\limits_{#1}}} \newcommand{\bigset}[2]{\left\{{#1}\left|\strut \vphantom{#1}\vphantom{#2}\right.\, {#2}\right\}} \newcommand{\set}[2]{\left\{\smash{#1}\left|% \vphantom{\smash{#1}}\vphantom{\smash{#2}}\right.\,\smash{#2}\right\}} \newcommand{\E}{\mathrm{e}} \newcommand{\I}{\mathrm{i}} \)

Wir betrachten zwei stetige Funktionen \( f\colon M \to \RR \) und \( g\colon M \to \RR \), definiert auf dem gleichen Intervall \(M\).

Wenn zwischen zwei Stellen \(a,b\in M\) die relative Lage der Funktionswerte wechselt (also z.B. von \(f(a) \lt g(a)\) zu \(f(b) \gt g(b(\)), dann wechselt die Differenzfunktion \( d\colon M \to \RR \colon x\mapsto f(x)-g(x) \) ihr Vorzeichen.

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es zwischen \(a\) und \(b\) eine Stelle \(\xi\) mit \(d(\xi) = 0\), also \(f(\xi) = g(\xi)\).

Im hier dargestellten Beispiel ist der Definitionsbereich \(M = [-2,2]\). Die Rollen von \(a\) und \(b\) werden von \(x_1\) und \(x_2\) bzw. von \(x_3\) und \(x_4\) übernommen.

Ich glaube nicht, dass Sie die Gleichung \(f(x) = g(x)\) so ohne Weiteres explizit lösen können ...