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Bevor wir uns genauer mit stetigen Funktionen befassen, verabreden wir einige Schreibweisen:
Es seien
Es gibt auch halb offene Intervalle:
Bei (halb) offenen Intervallen lässt man auch
Es sei
Es stellen sich die folgenden grundsätzlichen Probleme:
Gibt es
Wenn ja: Wie berechnet / findet man diese Nullstellen?
Kann man zu gegebenem
Das Nullstellenproblem ist ein Spezialfall (
Gibt es für zwei Funktionen
Auch dieses Problem kann man reduzieren auf das Nullstellenproblem
(für die durch
Für beliebige Funktionen ist das Nullstellenproblem sehr schwierig. Anders für stetige Funktionen: Hier gibt es allgemeine (abstrakte) Existenzsätze für Nullstellen, aus denen sich Algorithmen zur Approximation dieser Nullstellen entwickeln lassen. Hat man Existenzsätze (oder Algorithmen) für Nullstellen, so kann man damit auch das allgemeine Lösbarkeitsproblem und das Gleichheitsproblem angehen.
Es sei
Zur Anschauung:
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Beim Nullstellensatz von Bolzano ist die Stetigkeit der Funktion wichtig — und genauso die Annahme, dass der Definitionsbereich ein Intervall ist!
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Wir erhalten sofort eine Anwendung auf das Lösbarkeitsproblem:
Es sei
Mit anderen Worten:
Zu jedem
Eine raffiniertere Anwendung des Nullstellensatzes bzw. des Zwischenwertsatzes auf das Gleichheitsproblem finden Sie hier als interaktive Seite.
Die bequemste Methode, das Lösbarkeitsproblem zu bewältigen, wäre
eine Inverse zur Abbildung
Es sei
Eine Funktion
Mit anderen Worten: Es gilt
Man darf die Schreibweise
Eine Umkehrfunktion
Man kann jede Funktion
Die Funktion
Durch geeignete Einschränkungen erhält man bijektive Funktionen:
Die Umkehrfunktion zu
Die Umkehrfunktion zu
Die injektive Funktion
Generell gilt: Wenn die Umkehrfunktion
Die Funktion
Um die Injektivität einzusehen,
betrachten wir
Dann gilt auch
Die Surjektivität folgt aus dem Zwischenwertsatz:
Man muss sich nur klar machen,
dass es zu jeder reellen Zahl
Wegen
Wir verallgemeinern:
Es sei
In diesem Fall liefert
Ist
Es gibt
Aus dem Nullstellensatz von Bolzano (1.13.5) ergibt sich die folgende Methode zur Nullstellenbestimmung:
Es sei
Dann besitzt
Eine gegen eine Nullstelle konvergente Folge
Setze
Aus
In der folgenden Skizze können Sie die „Startwerte”
Wenn man mehr über die Funktion weiß (zum Beispiel Differenzierbarkeit), kann man erheblich schnellere Verfahren zur Nullstellenbestimmung finden.
Ein sehr prominentes Beispiel ist das Newton-Verfahren 2.9.1.
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