3.2. Rechenregeln für unbestimmte Integrale

Es sei I ein Intervall. Wir nehmen an, dass f:IR und g:IR Stammfunktionen besitzen.

Dann besitzen auch f+g und αf (für αR{0}) Stammfunktionen, und es gilt:

3.2.1. Linearität des Integrals.

  1. (f(x)+g(x))dx =f(x)dx+g(x)dx.
  2. αf(x)dx =αf(x)dx.

Mit Stammfunktionen F für f und G für g (und F+G für f+g) kann man das auch so schreiben:

  1. [F(x)+G(x)] =[F(x)]+[G(x)].
  2. [αF(x)] =α[F(x)].

Man verifiziert dies durch Differentiation— wir erinnern daran, dass [A]=[B] gerade bedeutet, dass A und B dieselbe Ableitung haben
(und sich also nur durch eine additive Konstante unterscheiden).

Hier werden Mengen von Funktionen addiert bzw. mit einem Skalar multipliziert:
Dies geschieht elementweise, es gilt
[F]+[G]={F+c|F+ccRcR}+{G+d|G+ddRdR} ={F+G+k|F+G+kkRkR} =[F+G]
und
α[F]={α(F+c)|α(F+c)cRcR} ={αF+d|αF+ddRdR} =[αF].

Wir haben α0 verlangt, damit die Menge α[F] nicht zu einer Menge mit nur einem Element (nämlich der Nullfunktion kollabiert
— in der Tat ist

0[F]={0} [0F]={0+c|0+ccRcR} ={c|ccRcR};

die letzte Menge ist die Menge aller konstanten Funktionen (das sind unendlich viele).

Eine Stammfunktion F zu
f:[32,52]R:x32x22x
— also Ff(x)dx: Funktionsplot

und die Funktion G:=12F

— also G12f(x)dx: Funktionsplot

Mehrere Elemente aus [F]=f(x)dx: Funktionsplot

und mehrere Elemente aus [G]=12[F]: Funktionsplot

Vielleicht geht es Ihnen wie mir:
am Rand (wo die Funktion steil ansteigt) sieht es nicht so aus, als wären die Funktionsgraphen nur vertikal verschoben; das wirkt enger gedrängt.
Das ist eine optische Täuschung (ich vermute, weil wir die Tendenz haben, orthogonal zur Linie zu messen).
Bewegen Sie in der folgenden Skizze die Punkte x und c:

3.2.2. Partielle Integration.

Sind f und g differenzierbar, so gilt f(x)g(x)dx =[f(x)g(x)]f(x)g(x)dx.

Beweis (durch Nachrechnen/Probe):

Wir leiten die rechte Seite ab:

Mit Hilfe der Produktregel ergibt sich

(f(x)g(x)+f(x)g(x)) f(x)g(x) =f(x)g(x)

— das ist die Ableitung der linken Seite.

3.2.3. Beispiel.

Eine Stammfunktion für xex erhalten wir mit partieller Integration:

Wir setzen g(x):=x und f(x):=ex (also f(x)=ex), dann gilt

xexdx =[xex]1exdx =[(x1)ex].

Probe: Man verifiziert

ddt00(t1)et|t=xX =(x1)ex+1ex =xex

[Produktregel].

3.2.4. Beispiel.

Eine Stammfunktion von cosxsinx findet man durch den Ansatz g(x):=sinx und f(x):=sinx (also f(x)=cosx):

cosxsinxdx =[sinxsinx]sinxcosxdx

liefert 2cosxsinxdx =[(sinx)2], also cosxsinxdx =[12(sinx)2].

Die Probe überlasse ich Ihnen ...

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