3.2. Rechenregeln für unbestimmte Integrale

Es sei $I$ ein Intervall. Wir nehmen an, dass $f:I\to \mathbb{R}$ und $g:I\to \mathbb{R}$ Stammfunktionen besitzen.

Dann besitzen auch $f+g$ und $\alpha f$ (für $\alpha \in \mathbb{R}\setminus \{0\}$) Stammfunktionen, und es gilt:

3.2.1. Linearität des Integrals.

1. ${\displaystyle \int (f(x)+g(x))\mathrm{d}x}$ $={\displaystyle \int f(x)\mathrm{d}x+\int g(x)\mathrm{d}x}$.
2. ${\displaystyle \int \alpha f(x)\mathrm{d}x}$ $={\displaystyle \alpha \int f(x)\mathrm{d}x}$.

Mit Stammfunktionen $F$ für $f$ und $G$ für $g$ (und $F+G$ für $f+g$) kann man das auch so schreiben:

1. ${\displaystyle [F(x)+G(x)]}$ $={\displaystyle [F(x)]+[G(x)]}$.
2. ${\displaystyle [\alpha F(x)]}$ $=\alpha [F(x)]$.

Man verifiziert dies durch Differentiation— wir erinnern daran, dass $[A]=[B]$ gerade bedeutet, dass $A$ und $B$ dieselbe Ableitung haben
(und sich also nur durch eine additive Konstante unterscheiden).

Hier werden Mengen von Funktionen addiert bzw. mit einem Skalar multipliziert:
Dies geschieht elementweise, es gilt
$[F]+[G]=\left\{F+c|\phantom{F+c}\phantom{c\in \mathbb{R}}c\in \mathbb{R}\right\}+\left\{G+d|\phantom{G+d}\phantom{d\in \mathbb{R}}d\in \mathbb{R}\right\}$ $=\left\{F+G+k|\phantom{F+G+k}\phantom{k\in \mathbb{R}}k\in \mathbb{R}\right\}$ $=[F+G]$
und
$\alpha [F]=\left\{\alpha (F+c)|\phantom{\alpha (F+c)}\phantom{c\in \mathbb{R}}c\in \mathbb{R}\right\}$ $=\left\{\alpha F+d|\phantom{\alpha F+d}\phantom{d\in \mathbb{R}}d\in \mathbb{R}\right\}$ $=[\alpha F]$.

Eine Stammfunktion $F$ zu
$f:[-\frac{3}{2},\frac{5}{2}]\to \mathbb{R}:x\mapsto \frac{3}{2}{x}^2-2x$
— also $F\in \int f(x)\mathrm{d}x$:

und die Funktion $G:=\frac{1}{2}F$

— also $G\in \frac{1}{2}\int f(x)\mathrm{d}x$:

Mehrere Elemente aus $[F]={\displaystyle \int f(x)\mathrm{d}x}$:

und mehrere Elemente aus $[G]=\frac{1}{2}[F]$:

Vielleicht geht es Ihnen wie mir:
am Rand (wo die Funktion steil ansteigt) sieht es nicht so aus, als wären die Funktionsgraphen nur vertikal verschoben; das wirkt enger gedrängt.
Das ist eine optische Täuschung (ich vermute, weil wir die Tendenz haben, orthogonal zur Linie zu messen).
Bewegen Sie in der folgenden Skizze die Punkte $x$ und $c$:

3.2.2. Partielle Integration.

Sind $f$ und $g$ differenzierbar, so gilt $\int f^{\prime }(x)\cdot g(x)\mathrm{d}x$ $=[f(x)\cdot g(x)]-\int f(x)\cdot g^{\prime }(x)\mathrm{d}x$.

3.2.3. Beispiel.

Eine Stammfunktion für $x{\mathrm{e}}^x$ erhalten wir mit partieller Integration:

Wir setzen $g(x):=x$ und $f(x):={\mathrm{e}}^x$ (also $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x$), dann gilt

$\int x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x$ $=[x{\mathrm{e}}^x]-\int 1\cdot {\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x$ $=[(x-1){\mathrm{e}}^x]$.

3.2.4. Beispiel.

Eine Stammfunktion von $\cos x\cdot \sin x$ findet man durch den Ansatz $g(x):=\sin x$ und $f(x):=\sin x$ (also $f^{\prime }(x)=\cos x$):

$\int \cos x\cdot \sin x\mathrm{d}x$ $=[\sin x\cdot \sin x]-\int \sin x\cdot \cos x\mathrm{d}x$

liefert $2\int \cos x\cdot \sin x\mathrm{d}x$ $=[(\sin x{)}^2]$, also $\int \cos x\cdot \sin x\mathrm{d}x$ $=[\frac{1}{2}(\sin x{)}^2]$.

Die Probe überlasse ich Ihnen ...