HM (Analysis) 3.1

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3. Integralrechnung

3.1. Stammfunktionen

3.1.1. Definition.

Es sei $f : I \to R$ eine reelle Funktion, definiert auf auf einem beliebigen Intervall $I$ .

Eine Funktion $F : I \to R$ heißt Stammfunktion von $f$ , wenn $F$ differenzierbar ist und für alle $x \in I$ gilt: $F^{'} (x) = f (x)$ .

Gehören zu $I$ Randpunkte, so muss man dort einseitige Differenzierbarkeit (im Sinne von 2.1.2) verlangen.

Wenn überhaupt eine Stammfunktion zu $f$ existiert, gibt es gleich mehrere:

Für $c \in R$ ist mit $F$ auch $F + c : I \to R :$ $x \mapsto F (x) + c$ eine Stammfunktion von $f$ .

Nach 2.4.6 sind damit aber schon alle Möglichkeiten abgedeckt.
(Hier braucht man, dass der Definitionsbereich ein Intervall ist - also an einem Stück zusammenhängt!)

3.1.2. Lemma.

Es sei $I$ ein Intervall. Wenn $f : I \to R$ eine Stammfunktion $F$ besitzt, dann ist $[F] := {F + c | c \in R}$ die Menge aller Stammfunktionen von $f$ .

Diese Menge wird auch mit $\int f (x) d x$ bezeichnet, man nennt sie das unbestimmte Integral von $f$ .

3.1.3. Bemerkung.

Die Voraussetzung, dass der Definitionsbereich von $f$ ein Intervall sei, ist wichtig für 3.1.2.

Besteht dieser Definitionsbereich etwa aus zwei getrennten Intervallen (wie z. B. bei $f : R ∖ {0} \to R :$ $x \mapsto \frac{1}{x^{2}}$ ),
so kann man auf jedem dieser Intervalle eine eigene additive Konstante wählen.

Im Beispiel wäre

$G : R ∖ {0} \to R :$ $x \mapsto {\begin{cases} - \frac{1}{x} & falls x \in (- \infty, 0), \\ 17 - \frac{1}{x} & falls x \in (0, + \infty) \end{cases}$

eine Stammfunktion für die eben betrachtete Funktion $f$ .

3.1.4. Schreibweise.

Statt die Menge $[F]$ anzugeben, schreiben viele Autoren $\int f (x) d x =$ $F (x) + c$ und meinen damit die eben genannte Menge von Funktionen.

Da die Stammfunktion nur bis auf eine additive Konstante bestimmt ist, muss man bei Gleichheit von Stammfunktionen Vorsicht walten lassen:

Eigentlich muss man stets von der Menge aller Stammfunktionen sprechen.

Meistens gibt man kurzerhand einen Vertreter $F$ dieser Menge an.
Die eckigen Klammern erinnern uns, dass wir aus dem einen Vertreter $F$ die Menge $[F] = {F + x | x \in R}$ zu bilden haben.

3.1.5. Definition.

Ist $F$ eine Stammfunktion für $f : I \to R$ , so nennt man für $a, b \in I$ die Zahl

$\int_{a}^{b} f (x) d x$ $:= F (b) - F (a)$

das bestimmte Integral über $f$ von $a$ bis $b$
oder das bestimmte Integral mit den Grenzen $a$ und $b$ .

Eine sehr gebräuchliche Schreibweise ist $[F (x)]_{a}^{b} :=$ $F (b) - F (a)$ .

3.1.6. Bemerkungen.

Wegen 3.1.2 hängt die Definition des bestimmten Integrals nicht von der Wahl der Stammfunktion ab:
Für eine zweite Stammfunktion $G$ gilt $G = F + c$ und daher
$[G (x)]_{a}^{b}$ $= G (b) - G (a)$ $= F (b) + c - F (a) - c$ $= F (b) - F (a)$ $= [F (x)]_{a}^{b}$ .
Mit Hilfe des bestimmten Integrals kann man wieder eine Stammfunktion gewinnen:
$F_{a} (x) := \int_{a}^{x} f (t) d t$ .
Die Wahl von $a$ entspricht der Wahl der additiven Konstanten.

3.1.7. Stammfunktionen von Standardfunktionen.

Unbestimmte Integrale vieler gebräuchlicher Funktionen findet man in Tabellenwerken wie etwa dem von Bronstein.

Besonders fundamental sind die folgenden:

$f (x)$		$x^{a}$	$e^{x}$	$b^{x}$	$\sin x$	$\cos x$	$\sinh x$	$\cosh x$
$\int f (x) d x$		$[\frac{x^{a + 1}}{a + 1}]$	$[e^{x}]$	$[\frac{b^{x}}{\ln b}]$	$[- \cos x]$	$[\sin x]$	$[\cosh x]$	$[\sinh x]$

$f (x)$		$\frac{1}{x}$	$\frac{1}{(\cos x)^{2}}$	$\frac{1}{1 + x^{2}}$	$\frac{1}{\sqrt{1_{} - x^{2}}}$	$\frac{1}{\sqrt{1_{} + x^{2}}}$
$\int f (x) d x$		$[\ln \| x \|]$	$[\tan x]$	$[\arctan x]$	$[\arcsin x]$	$[arsinh x]$

Hier sind $a$ und $b$ reelle Konstanten mit $a \neq - 1$ und $0 < b \neq 1$ .