3.4. Partialbruchzerlegung

3.4.1. Definition.

Unter einer gebrochen rationalen Funktion versteht man eine Funktion

\( f\colon D\to\RR \)

die als Quotient zweier Polynome mit reellen Koeffizienten gegeben ist.

Es gilt also \( f(x) = \dfrac{q(x)}{p(x)} \) mit \( q(x),\,p(x)\in\Pol{}\RR \).

Der Definitionsbereich \(D\) darf keine Nullstelle des Nenners \(p(x )\) enthalten.

Wir wollen diese Funktionen integrieren.

3.4.2. Beispiele.

Es sei \( a\in\RR \).

Die gebrochen rationalen Funktionen

\( f_1(x) = \dfrac1{x-a} \)

\( f_2(x) = \dfrac1{(x-a)^2} \)

\( f_3(x) = \dfrac1{(x-a)^3} \)

\( \qquad \vdots \)

\( f_n(x) = \dfrac1{(x-a)^n} \)

\( \qquad \vdots \)

können wir problemlos integrieren, Stammfunktionen sind etwa

\( \quad F_1(x)=\ln |x-a| \), \( \quad F_2=-f_1 \), \( \quad F_3=-\frac12\,f_2 \), \( \quad \ldots \) \( \quad F_n=-\frac{f_{n-1}}{n-1} \) \( \quad \ldots \)

Wir wollen die Integration beliebiger gebrochen rationaler Funktionen \( \) auf die Beispiele in 3.4.2 zurückführen.

Dazu zerlegen wir den Nenner \(p(x )\) in Linearfaktoren (das geht mit dem Fundamentalsatz der Algebra) oder in Faktoren vom Grad höchstens 2.

Um allen Beteiligten die Integrationstheorie für komplexe Funktionen wenigstens vorläufig zu ersparen, fassen wir die eventuell auftretenden nicht reellen Linearfaktoren gleich wieder in konjugiert komplexen Paaren zusammen.

3.4.3. Reelle Faktorisierung von Polynomen.

Sei \( p(x)=\sum\limits_{j=0}^n a_j\,x^j \in\Pol{}\RR \) mit \( a_n\ne0 \).

Dann gibt es relle Zahlen \( \alpha_j\in\RR \) und Paare reeller Zahlen \( (\beta_j,\gamma_j)\in\RR^2 \) so, dass

\( p(x) = a_n\cdot\prod_{j=1}^s (x-\alpha_j)^{m_j} \) \( \cdot \prod_{j=s+1}^{s+\frac{\ell-s}2}(x^2+\beta_j\,x+\gamma_j)^{m_j} \).

Dabei haben die quadratischen Faktoren \( x^2+\beta_k\,x+\gamma_k \) keine reellen Nullstellen (sondern Paare von konjugiert komplexen).

Die Linearfaktoren \( (x-\alpha_j) \) entsprechen genau den reellen Nullstellen des Polynoms.

3.4.4. Bemerkung.

Hier ist \(s\) die Anzahl verschiedener reeller Nullstellen, und \(\ell\) die Anzahl aller (auch komplexer) Nullstellen.

Es kommt natürlich vor, dass \(p(x )\) lauter reelle Nullstellen hat (dann ist \( s=\ell \)), oder dass alle Nullstellen nicht reell sind (dann ist \(s = 0\)).

In diesen Fällen entfällt eines der Produkte.

Grundlegendes Vorgehen zur reellen Faktorisierung:

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra 0.4.5 gibt es komplexe Zahlen \( \alpha_j \) so, dass

\( p(x) = a_n \cdot \prod_{j=1}^\ell (x-\alpha_j)^{m_j} \).

Wir nummerieren die Nullstellen so, dass \( \alpha_1,\ldots,\alpha_s \) reell sind, aber \( \alpha_j\notin\RR \) für alle \(j \gt s\) gilt.

(Also so, dass die reellen Nullstellen zuerst kommen, und die nicht reellen ans Ende sortiert sind.)

Weil das Polynom \(p(x )\) reelle Koeffizienten hat, ist mit \( \alpha_j \) stets auch die konjugiert komplexe Zahl \( \overline{\alpha_j} \) eine Nullstelle von \(p(x )\).

Das quadratische Polynom

\( \bigl(x-\alpha_j\bigr)\bigl(x-\overline{\alpha_j}\bigr) \) \( = x^2-\bigl(\alpha_j+\overline{\alpha_j}\bigr)\,x +\alpha_j\,\overline{\alpha_j} \)

hat reelle Koeffizienten \( \beta_j:=-(\alpha_j+\overline{\alpha_j}) \) und \( \gamma_j:=\alpha_j\,\overline{\alpha_j} \).

Wir fassen nun die nicht reellen Nullstellen von \(p(x )\) zu konjugiert komplexen Paaren \( (\alpha_j,\overline{\alpha_j}) \) für \(j \gt s\) zusammen;

das Produkt der zugehörigen Linearfaktoren ist dann \( \bigl(x-\alpha_j\bigr)\bigl(x-\overline{\alpha_j}\bigr) \) \( = x^2-\beta_j\,x +\gamma_j \).

Hat \(j\) die Vielfachheit \(m_j\) als Nullstelle von \(p(x )\), so ergibt sich die angegebene reelle Faktorisierung.

3.4.5. Reelle Partialbruchzerlegung.

Es seien \(p(x )\) und \(q(x )\) reelle Polynome, der Grad von \(q(x )\) sei kleiner als der Grad \(n\) von \(p(x )\).

Wir zerlegen \(p(x )\) nach 3.4.3 in reelle Faktoren:

\( p(x) = a_n\cdot\ds\prod_{j=1}^s (x-\alpha_j)^{m_j} \) \(\cdot \ds\prod_{j=s+1}^{s+\frac{\ell-s}2}(x^2+\beta_j\,x+\gamma_j)^{m_j} \).

Dann gibt es (eindeutig bestimmte) reelle Zahlen \( A_{jk} \), \( B_{jk} \), \( C_{jk} \) so, dass

\( \dfrac{q(x)}{p(x)} \) \( = \ds\sum\limits_{j=1}^s \sum\limits_{k=1}^{m_j} \dfrac{A_{jk}}{(x-\alpha_j)^k} \) \( + \ds\sum\limits_{j=s+1}^{s+\frac{\ell-s}2} \sum\limits_{k=1}^{m_j} \dfrac{B_{jk}+C_{jk}\,x}{(x^2+\beta_j\,x+\gamma_j)^k} \).

Der Leitkoeffizient \(a_n\) des Nenners ist hier in die Koeffizienten \( A_{jk} \), \( B_{jk} \), und \( C_{jk} \) eingerechnet.

3.4.6. Beispiel.

Eine reelle Faktorisierung von \( x^2-5 \) ist \( (x-\alpha_1)^1\cdot(x-\alpha_2)^1 \) mit \( \alpha_1=\sqrt5 \) und \( \alpha_2=-\sqrt5 \).

Die Partialbruchzerlegung von \( \dfrac1{x^2-5} \) setzen wir an als

\( (*)\qquad \dfrac1{x^2-5} \) \( = \dfrac{A_{11}}{x-\sqrt5} + \dfrac{A_{21}}{x+\sqrt5} \).

Um die Koeffizienten \( A_{jk} \) zu bestimmen, multiplizieren wir die definierende Gleichung \((*)\) mit \( \bigl(x-\sqrt5\bigr) \) und erhalten

\( \dfrac1{x+\sqrt5} \) \( = \dfrac{x-\sqrt5}{x^2-5} \) \( = \dfrac{A_{11}\,\bigl(x-\sqrt5\bigr)}{x-\sqrt5} + \dfrac{A_{21}\,\bigl(x-\sqrt5\bigr)}{x+\sqrt5} \).

Für \( x\konv\sqrt5 \) erhalten wir \( \frac1{\sqrt5 +\sqrt5} = A_{11} \).

Analog finden wir \( A_{21}=\frac1{-\sqrt5-\sqrt5} \) nach Multiplikation mit \(\bigl(x+\sqrt5\bigr)\) und Grenzübergang \( x\konv-\sqrt5 \).

Wir erhalten

\( \dfrac1{x^2-5} \) \( = \dfrac{\frac1{2\sqrt5}}{x-\sqrt5} + \dfrac{-\frac1{2\sqrt5}}{x+\sqrt5} \) \( = \dfrac1{2\sqrt5}\,\left(\dfrac1{x-\sqrt5} -\dfrac1{x+\sqrt5}\right) \).

Das eben benutzte Verfahren (Multiplikation mit einem Linearfaktor und Grenzwertbetrachtung) nennt man Grenzwertmethode.

Bevor wir weitere Beispiele vorstellen, zeigen wir, wozu die Partialbruchzerlegung gut ist.

3.4.7. Integration mit Hilfe der Partialbruchzerlegung.

Es sei \( f(x)=\frac{q(x)}{p(x)} \) eine gebrochen rationale Funktion.

Ist der Grad \(d\) des Nennerpolynoms \(q(x )\) größer oder gleich dem Grad \(n\) des Zählerpolynoms \(p(x )\), finden wir durch Polynomdivision ein Polynom \( a(x) \) vom Grad \(d − n\) und ein Polynom \( q_1(x) \) vom Grad \(r \lt n\) so, dass \( q(x)=a(x)\,p(x)+q_1(x) \).

Es ergibt sich \( f(x) = a(x) + \frac{q_1(x)}{p(x)} \).

Im Falle \(d \lt n\) setzen wir \(a := 0\) und \(q_1 := q\).

Das Polynom \(a(x )\) ist leicht zu integrieren, für den Rest steht uns eine Partialbruchzerlegung zur Verfügung:

\( \dfrac{q_1(x)}{p(x)} \) \( = \ds\sum_{j=1}^s \sum_{k=1}^{m_j} \frac{A_{jk}}{(x-\alpha_j)^k} \) \( + \ds\sum_{j=s+1}^{s+\frac{\ell-s}2} \sum_{k=1}^{m_j} \frac{B_{jk}+C_{jk}\,x}{(x^2+\beta_j\,x+\gamma_j)^k} \).

Wegen der Linearität des Integrals können wir das Integral

\( \ds\int\limits f(x) \diff x \) \( = \ds\int\limits \dfrac{q_1(x)}{p(x)} \diff x \) \( = \ds \int\limits \sum_{j=1}^s \sum_{k=1}^{m_j} \frac{A_{jk}}{(x-\alpha_j)^k} \) \( + \ds\sum_{j=s+1}^{s+\frac{\ell-s}2} \sum_{k=1}^{m_j} \frac{B_{jk}+C_{jk}\,x}{(x^2+\beta_j\,x+\gamma_j)^k} \diff x \)

zurückführen auf die folgenden (teilweise in 3.4.2 bestimmten) Integrale:

1. \(\qquad \ds\int\limits\frac A{(x-\alpha)^1} \,\diff x \) \( = \left[A^{\vphantom1}\,\ln|x-\alpha|\right] \)
2. \(\qquad \ds\int\limits\frac A{(x-\alpha)^k} \,\diff x \) \( = \left[\dfrac{-A}{(k-1)\,(x-\alpha)^{k-1}}\right] \quad \) für \(k\gt1\)
3. \(\qquad \ds\int\limits\frac B{(x^2+\beta\,x+\gamma)^k} \,\diff x \)
4. \(\qquad \ds\int\limits\frac{C\,x}{(x^2+\beta\,x+\gamma)^k} \,\diff x \) \( = \ds\frac C2\,\left(\int\limits\frac{2\,x+\beta}{(x^2+\beta\,x+\gamma)^k} \,\diff x \right. \) \( \left. - \ds\int\limits\frac{\beta}{(x^2+\beta\,x+\gamma)^k} \,\diff x \right) \)

Wir müssen die letzten beiden Fälle noch verstehen.

Dabei können wir die Skalare \(B\) und \(C\) zunächst ignorieren.

(Besser gesagt: Wir ziehen diese Skalare aus dem Integral nach vorn und verrechnen sie später.)

3.4.8. Lemma.

Das Polynom \( x^2+\beta\,x+\gamma \) habe reelle Koeffizienten.

Dann gilt

1. \( \qquad\ds\int\limits\frac{2\,x+\beta}{(x^2+\beta\,x+\gamma)^1} \,\diff x \) \( = \left[\ln|x^2+\beta\,x+\gamma|\right] \)
2. \( \qquad \ds\int\limits\frac{2\,x+\beta}{(x^2+\beta\,x+\gamma)^k} \,\diff x \) \( = \left[\dfrac{-1}{(k-1)(x^2+\beta\,x+\gamma)^{k-1}}\right] \quad \) für \(k\gt1\).

Es bleiben Stammfunktionen für \( \dfrac1{(x^2+\beta\,x+\gamma)^k} \) zu finden.

Dazu benutzen wir den folgenden Hilfssatz:

3.4.9. Lemma.

Das Polynom \( x^2+\beta\,x+\gamma \) habe reelle Koeffizienten, aber keine reellen Nullstellen.

Wir setzen \( \Delta:=\gamma-\frac{\beta^2}4 \) und \( u:=\frac{x+\frac\beta2}{\sqrt\Delta} \).

Dann gilt \( \Delta\gt0 \) und

1. \(\qquad \ds\int\limits\frac1{x^2+\beta\,x+\gamma}\,\diff x \) \( = \left[\frac1{\sqrt\Delta}\strut\arctan u\right] \) \( = \left[\frac1{\sqrt\Delta}\arctan\left(\frac{x+\frac\beta2}{\sqrt\Delta}\right)\right] \)
2. \(\qquad \ds\int\limits\frac1{(x^2+\beta\,x+\gamma)^k}\,\diff x \) \( = \ds \frac{\sqrt\Delta}{\Delta^k}\,\int\limits\frac1{(u^2+1)^k}\,\diff u \qquad \)
   \( = \ds\frac{\sqrt\Delta}{\Delta^k}\,\left( \left(1-\frac1{2\,(k-1)}\right)\,\int\limits\frac1{(u^2+1)^{k-1}}\,\diff u \right. \) \( \left. + \ds\left[\frac u{2\,(k-1)\,(u^2+1)^{k-1}}\right]\right) \)
   für \(k\gt 1\).

Diese Monsterformel steht hier erst mal, um klar zu machen, dass wir im Prinzip alles im Griff haben.
Für \(k=2\) führt sie das Integral \( \int\limits\frac1{(x^2+\beta\,x+\gamma)^2}\,\diff x \) direkt zurück auf \( \int\limits\frac1{(x^2+\beta\,x+\gamma)^1}\,\diff x \) und Terme, die wir schon im Kasten haben.
Für größeres \(k\) liefert die Monsterformel ein rekursives Verfahren, mit dem wir schließlich alles auf bekannte Terme reduzieren können.

Um die Formel zu verstehen, empfehle ich, diese Reduktion für \(k=3\) und \(k=4\) explizit auf einem Blatt Papier auszuführen.

Nehmen Sie das Blatt lieber quer ...

3.4.10. Beispiel.

Die Partialbruchzerlegung

\( \dfrac1{x^2-5} \) \( = \dfrac1{2\sqrt5}\,\left(\dfrac1{x-\sqrt5} -\dfrac1{x+\sqrt5}\right) \)

aus 3.4.6 liefert

\( \ds \int\limits\frac1{x^2-5} \,\diff x \) \( = \ds \left[\frac1{2\sqrt5}\,\left(\ln|x-\sqrt5| - \ln|x+\sqrt5|\right)\right] \).

3.4.11. Beispiel.

Um \( \dfrac{x+10}{x^2+5\,x-14} \) zu integrieren, zerlegen wir den Nenner:

\( x^2+5\,x-14 = (x+7)\,(x-2) \).

Es ist \( \alpha_1=-7 \) (mit \(m_1 = 1\)) und \( \alpha_2=2 \) (mit \(m_2 = 1\)).

Für die Partialbruchzerlegung setzen wir also an

\( \dfrac{x+10}{x^2+5\,x-14} \) \( = \dfrac {A_{11}}{x+7} + \dfrac {A_{21}}{x-2} \).

Wie in 3.4.6 könnten wir die Grenzwertmethode benutzen, um \( {A_{11}} \) und \( {A_{21}} \) zu bestimmen.

Wir stellen eine weitere Methode zur Koeffizienten-Bestimmung vor:

Nach Multiplikation mit dem Nenner \((x + 7)(x − 2)\) und Kürzen erhalten wir

\( x+10 \) \( = {A_{11}}\,(x-2) + {A_{21}}\,(x+7) \) \( = ({A_{11}}+{A_{21}})\,x + (-2\,{A_{11}}+7\,{A_{21}}) \).

Diese Bedingung muss für unendlich viele reelle Zahlen (nämlich alle in einem Teilintervall von \( \RR\setminus\{-7,2\} \)) erfüllt sein.

Also stimmen die beiden Polynome links und rechts überein, wir können \( {A_{11}} \) und \( {A_{21}} \) durch Koeffizientenvergleich berechnen:

\( \begin{array}{rcrcrl} 1 & = & {A_{11}} & + & {A_{21}} \\ 10 & = & -2\,{A_{11}} & + & 7\,{A_{21}} & \,. \end{array} \)

Als Lösung dieses inhomogenen LGS ergibt sich

\( {A_{11}}=-\frac13 \,, \qquad {A_{21}}=\frac43 \).

Damit ist

\( \ds \int\limits\frac{x+10}{x^2+5\,x-14} \,\diff x \) \( = \ds \int\limits\frac{-1}{3\,(x+7)} + \frac{4}{3\,(x-2)} \,\diff x \) \( = \ds \left[-\frac13\,\ln|x+7|+\frac43\,\ln|x-2|\right] \).

3.4.12. Beispiel.

Nach Satz 3.4.5 gibt es \( {A_{11}},{A_{12}},{A_{13}}\in\RR \) so, dass

\( \dfrac{x-1}{(x-2)^3} \) \( = \dfrac {A_{11}}{x-2} + \dfrac {A_{12}}{(x-2)^2} + \dfrac {A_{13}}{(x-2)^3} \).

Mit der Grenzwertmethode könnte man \( A_{13} \) bestimmen, aber nicht die anderen Koeffizienten.

Die Methode des Koeffizientenvergleichs spielt hier ihre Stärke aus:

\( x-1 \) \( = {A_{11}}\,(x-2)^2 + {A_{12}}\,(x-2) + {A_{13}} \)

\( = {A_{11}}\,(x^2-4\,x+4) +{A_{12}}\,(x-2) + {A_{13}} \)

\( = \) \( {A_{11}}\,x^2 + (-4\,{A_{11}}+{A_{12}})\,x + (4\,{A_{11}}-2\,{A_{12}}+{A_{13}}) \).

Wir erhalten \( {A_{11}}=0 \), \( {A_{12}}=1 \) und \( {A_{13}}=1 \).

Das Integral können wir jetzt leicht berechnen:

\( \ds \int\limits\frac{x-1}{(x-2)^3} \,\diff x \) \( = \ds\int\limits\frac 0{x-2} + \frac 1{(x-2)^2} + \frac 1{(x-2)^3} \,\diff x \) \( = \ds \left[\frac{-1}{x-2} + \frac{-1}{2\,(x-2)^2}\right] \).

3.4.13. Beispiel.

Bei \( \ds f(x)=\frac2{(x^2+1)(x-1)} \) hat der Nenner die reelle Nullstelle \(1\), aber keine weiteren reellen Nullstellen.

Deswegen setzen wir die Partialbruchzerlegung an als \( \frac2{(x^2+1)(x-1)} \) \( =\frac A{x-1} + \frac{B+C\,x}{x^2+1} \).

(Eigentlich haben wir \( A={A_{11}} \), \( B={B_{21}} \) und \( C={C_{21}} \).)

Mit der Grenzwertmethode (Multiplikation der Gleichungen mit \((x − 1)\)) können wir schnell \(A = 1\) einsehen, danach könnte man einen Koeffizientenvergleich für \(B\) und \(C\) durchführen.

Wir stellen eine weitere Methode vor:

Durch Einsetzen spezieller Werte für \(x\) erhalten wir lineare Gleichungen für \( A,B,C \).

Wir verwenden \(A = 1\) (aus der Grenzwertmethode) und setzen \(x = 0\):

Dies liefert \(B = −1\).

Jetzt setzen wir \(x = 2\) ein und erhalten \( \frac2{(4+1)\cdot1} = 1+\frac{-1+2\,C}{5} \), also \(C = −1\).

Die Menge aller Stammfunktionen von \(f (x )\) erhält man als

\( \ds\int\limits f(x)\,\diff x \)

\( = \ds\int\limits\left(\quad \frac1{x-1} \right. \) \( + \ds\left.\frac{-1-x}{x^2+1}\quad\right) \,\diff x \)

\( = \ds\int\limits \frac1{x-1} \,\diff x \) \( - \ds\int\limits\frac1{x^2+1} \,\diff x \) \( - \ds\frac12\int\limits\frac{2\,x}{x^2+1} \,\diff x \)

\( = \ds\left[\vphantom{\frac11}\strut\ln|x-1|\right. \) \( - \ds\arctan x \) \( - \ds\left.\frac12\ln|x^2+1|\,\strut\right] \).

3.4.14. Beispiel.

Nach 3.4.9 gilt (mit \( \beta=0 \), \( \gamma=1 \), \( u=x \), und \( k=2 \)):

\( \ds\int\limits\frac1{(x^2+1)^2}\,\diff x \) \( = \ds\frac12\int\limits\frac1{x^2+1}\,\diff x + \left[\frac12\,\frac x{x^2+1}\right] \)

\( = \ds\left[\frac12\left(\arctan x+\frac x{x^2+1}\right)\right] \).

Grundsätzlich gilt:
Die Suche nach den Koeffizienten der Partialbruchzerlegung kann man immer durch Multiplikation mit dem Nenner und anschließenden Koeffizientenvergleich auf die Lösung eines linearen Gleichungssystems reduzieren.
Den Beweis von 3.4.5 führt man in der Tat auf den Nachweis der eindeutigen Lösbarkeit dieses Gleichungssystems zurück.
Die in den Beispielen benutzten Tricks helfen, die Zahl der Unbekannten vorweg zu vermindern.