5. Potentialtheorie, Vektorfelder und Kurvenintegrale

5.1. Potentialfunktionen

5.1.1. Definition.

Es sei \( D\subseteq\RR^n \).

Unter einem Vektorfeld versteht man eine Abbildung

\( g\colon D\to\RR^n \).

Das Vektorfeld heißt stetig differenzierbar, wenn es selbst stetig und jede Komponentenfunktion der vektorwertigen Abbildung \(g\) stetig partiell differenzierbar ist (wenn demnach die Abbildung \(g\) total differenzierbar ist, vgl. 4.4.4 und 4.7.2).

Allgemeiner schreiben wir \( \alert{g\in\CF kDn} \), wenn jede Komponentenfunktion \( g_j^{} \) zu \( \Cf kD \) gehört.

Ein Beispiel aus dem Alltag ist das Gravitationsfeld.

Bei einer idealisierten, im Nullpunkt konzentrierten Masse ist dieses bis auf einen Skalar (der von der Masse abhängt) gegeben durch

\( g\colon \RR^3\setminus\{0\}\to\RR^3 \colon{} \) \( v \mapsto -2\,|v|^{-3}\,v \) \( = \alert{\frac{-2\phantom{-}}{|v|^2}}\,\,\color{blue}{\frac{v}{|v|}} \).

Die folgende Skizze zeigt das Gravitationsfeld

\( g(v)=-2\,|v|^{-3}\,v \)

Mit Hilfe eines Vektorfelds können wir auch die Geschwindigkeitsverteilung einer Flüssigkeit oder eines Gases beschreiben:

Jedem Teilchen (gegeben durch seinen Ort, also einen Vektor \( x\in\RR^3 \)) wird dessen Momentangeschwindigkeit zugeordnet (also wieder ein Vektor \( v(x)\in\RR^3 \)).

So entsteht ein Vektorfeld \( v\colon D\to\RR^3 \), definiert auf dem Bereich \( D\subseteq\RR^3 \), in dem sich die Flüssigkeit oder das Gas befindet.

Als eine weitere Anwendung ist etwa die Beschreibung einer Kraftverteilung oder der daraus resultierenden Momentanbeschleunigung zu nennen:

Hier handelt es sich um Ableitungen nach der zusätzlichen Variablen, die die Zeit beschreibt.

Analog zu Kraftfeldern kann man Magnetfelder und elektrische Felder als Vektorfelder interpretieren.

Auch innerhalb der Mathematik sind wir bereits einem Vektorfeld begegnet:

Das Gradientenfeld

\( \grad f\colon {} D\to \RR^n \colon \) \( x\mapsto \grad{f}(x) \)

zu einer Funktion \( f\in\Cf{1}{D} \) in \(n\) Veränderlichen (also mit \( D\subseteq\RR^n \)) ordnet jedem \( x\in D \) den Vektor zu, der die Richtung des steilsten Anstiegs der Funktion \(f\) angibt.

In diesem Zusammenhang wird es sinnvoll zu fragen, ob ein gegebenes Vektorfeld \( g\colon D\to\RR^n \) als Ableitung einer Funktion \( U\colon D\to\RR \) entsteht, ob also \( \color{blue}{U\in\Cf1D} \) so existiert, dass gilt:

\( \alert{\forall\, x\in D\colon{}} \) \( \alert{\grad U(x) = g(x)} \)

Diese Funktion \( U \) ist natürlich nicht eindeutig bestimmt:

Wir können eine beliebige Konstante addieren, ohne den Gradienten zu ändern!

Für das oben als Beispiel angegebene Gravitationsfeld

\( g\colon \RR^3\setminus\{0\}\to\RR^3\colon{} \) \( v = \left( \begin{array}{c} x\\y\\z \end{array} \right) \mapsto \dfrac{-2\phantom{-}}{|v|^{3}}\,v \) \( = \) \( \ds\frac{-2}{\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)^{3}}\,\left( \begin{array}{c} x\\y\\z \end{array} \right) _{\vphantom{\ds\int}}^{\vphantom{\ds\int}} \)

könnte man das folgende Gravitationspotential nehmen:

\( U\colon \RR^3\setminus\{0\}\to\RR\colon{} \) \( v= \left( \begin{array}{c} x\\y\\z \end{array} \right) ^{\vphantom{\ds\int}} \mapsto \dfrac2{|v|} \) \( = \dfrac{2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\,. \)

Die folgenden Skizzen zeigen zuerst wieder dieses Gravitationsfeld und dann (in einer Kiste, die die Achsenrichtungen vermitteln soll) das Potential dazu:

Damit sich die Ableitung als ein Vektorfeld ergibt, muss die Funktion \(U\) reellwertig sein.

Als ein weiteres Beispiel für eine solche Funktion mag man an ein Ladungspotential denken.

Kraftfelder (in denen physikalische Arbeit verrichtet und potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt wird) und elektrische Felder (die von Potentialen herrühren) standen Pate bei der folgenden Namensgebung:

5.1.2. Definition.

Ein Vektorfeld \( g\colon D\to\RR^n \) heißt konservativ (oder ein Gradientenfeld), wenn es eine Funktion \( U\in\Cf1D \) so gibt, dass \( \color{blue}{\grad U=g} \).

In diesem Fall heißt \(U\) Potential (-funktion) von \(g\).

Zu \( c\in\RR \) können wir die Niveaumenge \( \bigset{x\in D}{U(x)=c} \) betrachten: Diese nennt man auch Äquipotentialmenge (gegebenenfalls Äquipotentiallinie oder -fläche) von \(g\) zu \(c\).

Bei der Diskussion der Existenz eines Potentials zu einem gegebenen Vektorfeld spielen weitere topologische Begriffe eine Rolle:

5.1.3. Definitionen.

Eine Menge \( D\subseteq\RR^n \) heißt (wegweise) zusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten \( p,q\in D \) ein Intervall \([a,b]\) und eine stetige Abbildung \( w\colon [a,b]\to\RR^n \) so gibt, dass gilt:

\( \forall\,t\in[a,b]\colon{} \) \( w(t)\in D \) (d.h.: die Kurve verläuft ganz in \(D\)).

\( w(a)=p \), \( w(b)=q \) (d.h.: die Kurve verbindet \(p\) mit \(q\)).

Eine solche Abbildung nennt man auch einen Weg von \(p\) nach \(q\) in \(D\) oder eine Parametrisierung der Kurve \( w([a,b]) \) in \(D\).

Die Kurve selbst ist also die Menge \(w([a,b]) \subseteq D\); der Weg ist eine Abbildung.

Wenn \(w\) injektiv ist, heißt die Kurve doppelpunktfrei parametrisiert, und die Parametrisierung heißt doppelpunktfrei.

Die Kurve heißt geschlossen (parametrisiert), wenn \( w(a)=w(b) \) gilt.

Eine geschlossene Parametrisierung heißt doppelpunktfrei, wenn die Einschränkung von \( w \) auf das halboffene Intervall \( [a,b) \) injektiv ist.

Eine zusammenhängende Menge \(D\). heißt einfach zusammenhängend, wenn sich jede geschlossene Kurve in \(D\) innerhalb von \(D\) stetig zu einem Punkt zusammenziehen lässt.

Was stetig zusammenziehen genau bedeutet, lassen wir hier offen — die Präzisierung der anschaulichen Vorstellung ist Aufgabe der Mathematiker.

Unter einem Gebiet in \( \RR^n \) versteht man eine offene zusammenhängende Teilmenge von \(\RR^n\).

5.1.4. Beispiele.

1. Jede konvexe Menge in \( \RR^n \) ist einfach zusammenhängend:
   Insbesondere sind \( \RR^n \) selbst und jede offene Kugel \( U_\rho(m) \) einfach zusammenhängend.
2. In \( \RR^2 \) ist die punktierte (gelochte) Kreisscheibe \( U_\rho(m)\setminus\{m\} \) nicht einfach zusammenhängend, ebensowenig der Kreisring \( U_\rho(m)\setminus U_\epsilon(m) \) oder \( \RR^2 \setminus U_\epsilon(m) \).

3. Dagegen sind die Mengen \( \RR^3\setminus U_\rho(m) \) und \( \RR^3\setminus\{m\} \) einfach zusammenhängend

   man kann Wege um das Loch herumziehen.

4. Beispiele für nicht einfach zusammenhängende Mengen in \( \RR^3 \) liefern der Volltorus: das ist das von der Menge

   \( \kern-.5em \bigset{\kern-.2em\left(\kern-.4em \begin{array}{r} \sin(s)\,\bigl(1+\frac{\sin(t)}2\bigr) \\ \cos(s)\,\bigl(1+\frac{\sin(t)}2\bigr) \\ \frac{\cos(t)}2 \quad \end{array}\kern-.4em\right)\kern-.2em} {\kern-.2em\begin{array}{c} 0\le s \le 2\,\pi \\ 0\le t \le 2\,\pi \end{array}\kern-.2em} \) umschlossene Gebiet:

   oder Brezeln:

Zum Begriff einfach zusammenhängend gibt es ein Video, das insbesondere auf Gegenbeispiele eingeht.

5.1.5. Satz.

Es sei \( D\subseteq\RR^n \) ein Gebiet, und \( g\colon D\to\RR^n \) ein stetig differenzierbares Vektorfeld.

1. Wenn \(g\) ein Gradientenfeld ist (wenn also \(g\) ein Potential besitzt), gilt für die Komponentenfunktionen \( g_j \) die folgende Integrabilitätsbedingung:

   (¡!) \( \quad \forall\,\color{red}j,\color{blue}k\le n\colon{} \) \( \frac{\partial}{\partial x_{\color{red}j}^{}}\,g_{\color{blue}k}^{} \) \( = \frac{\partial}{\partial x_{\color{blue}k}^{}}\,g_{\color{red}j}^{} \,. \)

2. Wenn das Gebiet \(D\) einfach zusammenhängend ist und die Integrabilitätsbedingung (¡!) erfüllt ist, existiert eine Potentialfunktion zu \(g\) (und \(g\) ist demnach ein Gradientenfeld).

   Besitzt \(g\) ein Potential \(U\), so gilt ja \(g(a)=\grad U(a)\) und daher \(\Jac ga=\Hesse Ua\).
   Nach dem Satz von Schwarz 4.3.10 ist die Hesse-Matrix \(\Hesse Ua\) symmetrisch: Das ist gerade die Integrabilitätsbedingung (¡!).

Die Potentialfunktion ist bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt.

Man muss in der Integrabilitätsbedingung (¡!) natürlich nur die Fälle \( j \lt k \) beachten:

Die Bedingung für \( j=k \) ist banalerweise erfüllt, und die Fälle mit \( j \gt k \) ergeben sich aus denen für \( j \lt k \) durch Vertauschen von \(j\) und \(k\).

Man kann die Integrabilitätsbedingung (¡!) auch so formulieren:

(¡!) Die Jacobi-Matrix \(\Jac{g}{x}\) ist symmetrisch (für jede Stelle \(x\in D\)).

5.1.6. Spezialfälle.

Für Vektorfelder in zwei bzw. drei Variablen \( x,y,z \) schreibt sich die Integrabilitätsbedingung (¡!) aus 5.1.5 folgendermaßen:

(¡!) \( \quad (g_1^{})_y = (g_2^{})_x \)

bzw.

(¡!) \( \quad (g_1^{})_y = (g_2^{})_x \,, \) \( \quad (g_1^{})_z = (g_3^{})_x \) \( \quad (g_2^{})_z = (g_3^{})_y \).

5.1.7. Beispiel.

Für das Vektorfeld

\( g\colon\RR^2\to\RR^2\colon{} \) \( \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) \mapsto \left( \begin{array}{c} x+y \\ \E^{x+y} \end{array}\right) \)

ergibt sich

\( (g_1^{})_y^{} \binom ab = 1 \) und \( (g_2^{})_x^{} \binom ab = \E^{a+b} \).

Nur für \( a+b=0 \) fallen diese Werte zusammen, also hat keine Einschränkung von \(g\) ein Potential:

In der Geraden \( \set{\binom a{-a}}{a\in\RR} \) ist kein Gebiet enthalten.

5.1.8. Beispiel.

Das Vektorfeld

\( g\colon\RR^2\to\RR^2\colon{} \) \( \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) \mapsto \left( \begin{array}{c} 2\,x\,y \\ x^2+3\,y^2 \end{array}\right) \)

liefert \( (g_1^{})_y^{}\binom ab \) \( = 2\,a \) \( = (g_2^{})_x^{}\binom ab \).

Der Definitionsbereich \( \RR^2 \) ist einfach zusammenhängend.

Also besitzt \(g\) ein Potential.

Die Eindeutigkeitsaussage in 5.1.5 besagt, dass wir alle Potentialfunktionen zum Feld \(g\) erhalten, wenn wir die Konstante \(k\) über \(\RR\) laufen lassen.

5.1.9. Beispiel.

Wir betrachten das Vektorfeld

\( g \colon \RR^3\to\RR^3 \colon{} \) \( \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \mapsto \left( \begin{array}{ccc} y\,\cos(x\,y) \\ x\,\cos(x\,y) & + & 2\,y\,z^3 \\ && 3\,y^2\,z^2 \end{array} \right) \).

Es gilt

(der typografischen Übersichtlichkeit wegen schreiben wir hier die Zeile \((x,y,z)\) statt der Spalte \((x,y,z)\transp\) in den Argumenten ... )

\( (g_1^{})_y^{}(x,y,z) \) \( = \cos(x\,y) + y\,\bigl(-\sin(x\,y)\bigr)\,x \) \( = (g_2^{})_x^{}(x,y,z) \),

\( (g_1^{})_z^{}(x,y,z) \) \( = 0 \) \( = (g_3^{})_x^{}(x,y,z) \),

\( (g_2^{})_z^{}(x,y,z) \) \( = 6\,y\,z^2 \) \( = (g_3^{})_y^{}(x,y,z) \).

Also ist die Integrabilitätsbedingung (¡!) aus 5.1.5 erfüllt.

Weil der Definitionsbereich einfach zusammenhängend ist, gibt es eine Potentialfunktion.

Wir berechnen eine Potentialfunktion \(U\) zu \(g\):

Zuerst verwenden wir \( U_x^{}=g_1^{} \):

\( \bigl[U(x,y,z)\bigr] \) \( = \int U_x^{}(x,y,z) \,\diff x \) \( = \int g_1^{}(x,y,z) \,\diff x \) \( = \int y\,\cos(x\,y) \,\diff x \) \( = \bigl[\sin(x\,y)\bigr] \).

Es gibt also jetzt eine Funktion \( c\colon\RR^2\to\RR\colon(y,z)\mapsto c(y,z) \) so, dass gilt:

\( U(x,y,z) \) \( = \sin(x\,y) + c(y,z) \).

Ableiten nach \(y\) liefert wegen \( U_y^{}=g_2^{} \) die Bedingung

\( x\,\cos(x\,y)+2\,y\,z^3 \) \( = \frac{\partial}{\partial y}\,U(x,y,z) \) \( = x\,\cos(x\,y) + \frac{\partial}{\partial y}\,c(y,z) \),

also \( c(y,z)=y^2\,z^3 + b(z) \) mit einer Funktion \(b\), die nur noch von \(z\) abhängt.

Indem wir jetzt auch noch nach \(z\) ableiten, sehen wir, dass \(b\) konstant ist.

Als Potential ergibt sich

\( U\colon\RR^3\to\RR\colon{} \) \( \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \mapsto \sin(x\,y) + y^2\,z^3 + k \),

mit \(k\in\RR\).