Das ε-δ-Kriterium

(Den vollständigen Abschnitt 1.10 finden Sie hier.)

1.10.5. Die ε-δ-Beschreibung der Stetigkeit.

Die Funktion f:MR ist genau dann stetig im Punkt x0 wenn gilt:

ε>0δ>0xM: (|xx0|<δ|f(x)f(x0)|<ε).

Dabei wird zuerst die Fehlertoleranz ε vorgegeben: Die Schranke δ=δε hängt von der Wahl von ε ab.

Man kann das auch so ausdrücken:

1.10.6. Beschreibung der Stetigkeit durch Umgebungen.

Die Funktion f:MR ist genau dann stetig im Punkt x0M, wenn es zu jeder Umgebung U=Uε(f(x0)) eine Umgebung V=Uδ(x0) derart gibt, dass f(VM)U.

Die Beschreibung durch Umgebungen ist recht anschaulich:

Umgebungen Umgebungen Umgebungen
x0 x0 x0
Es gilt hier aber
f(Uδ(x0))Uε(f(x0)); f(U2δ(x0))Uε(f(x0)); f(Uδ(x0))U12ε(f(x0)).

Ein interaktives Extra

Das gibt es erst, seit wir wegen einer Pandemie rein online lehren:

Sie können hier

Die hier benutzte Funktion ist übrigens gegeben durch f:R{8}R:xf(x):=x8|x8|.

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