Das $\epsilon$-$\delta$-Kriterium

(Den vollständigen Abschnitt 1.10 finden Sie hier.)

1.10.5. Die $\epsilon$-$\delta$-Beschreibung der Stetigkeit.

Die Funktion $f:M\to \mathbb{R}$ ist genau dann stetig im Punkt $x_0$ wenn gilt:

Dabei wird zuerst die Fehlertoleranz $\epsilon$ vorgegeben: Die Schranke $\delta ={\delta }_{\epsilon }$ hängt von der Wahl von $\epsilon$ ab.

Man kann das auch so ausdrücken:

1.10.6. Beschreibung der Stetigkeit durch Umgebungen.

Die Funktion $f:M\to \mathbb{R}$ ist genau dann stetig im Punkt $x_0\in M$, wenn es zu jeder Umgebung $U=U_{\epsilon }(f(x_0))$ eine Umgebung $V=U_{\delta }(x_0)$ derart gibt, dass $f(V\cap M)⫅U$.

Die Beschreibung durch Umgebungen ist recht anschaulich:

$x_0$	$x_0$	$x_0$
Es gilt hier		aber
$f(U_{\delta }(x_0))⫅U_{\epsilon }(f(x_0))$;	$f(U_{2\delta }(x_0))⫅U_{\epsilon }(f(x_0))$;	$f(U_{\delta }(x_0))⊈U_{\frac{1}{2}\epsilon }(f(x_0))$.

Das gibt es erst, seit wir wegen einer Pandemie rein online lehren:

Sie können hier

• $\epsilon$ und $\delta$ modifizieren und versuchen, die Eingangsschranke $\delta$ an die von Ihnen gewählte Fehlerschranke $\epsilon$ anzupassen,
• den Punkt $x_0$ verändern,
• zurück zur ersten Funktion gehen
• oder das Ganze auch mit einer dritten Funktion ausprobieren ...

Die hier benutzte Funktion ist übrigens gegeben durch $f:\mathbb{R}\setminus \{8\}\to \mathbb{R}:$$x\mapsto f(x):=\frac{x-8}{|x-8|}$.