1.11. Grenzwerte von Funktionen

Wir wollen eine Funktion an Löchern im Definitionsbereich oder am Rand stetig ergänzen - so weit das möglich ist.

Wir betrachten dazu Punkte im Abschluss des Definitionsbereichs (d. h.: Punkte $x_0$, für die jede Umgebung von $x_0$ wenigstens einen Punkt des Definitionsbereichs enthält)
- bei Punkten, die vom Definitionsbereich isoliert liegen, können wir nicht erwarten, dass die Funktion sich eindeutig (stetig) fortsetzen lässt!

Wir führen die folgenden Begriffe ein:

1.11.1. Definition.

Gegeben seien eine Funktion $f:M\to \mathbb{R}$ mit Definitionsbereich $M⫅\mathbb{R}$ und $x_0$ im Abschluss von $M$.

• $f$ besitzt in $x_0$ den (beidseitigen) Grenzwert $g$, wenn gilt:
  $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x\in U_{\delta }(x_0)\cap M:$ $f(x)\in U_{\epsilon }(g).$
  Wir schreiben in diesem Fall $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=g$ oder $f(x)\underset{x\to x_0}{⟶}g$.
• $f$ besitzt in $x_0$ den rechtsseitigen Grenzwert $g$, wenn gilt:
  $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x\in U_{\delta }(x_0)\cap M:$ $(x_0<x⟹f(x)\in U_{\epsilon }(g)).$
  Wir schreiben in diesem Fall $\underset{x\to x_0+0}{lim}f(x)=g$ oder $f(x)\underset{x\searrow x_0}{⟶}g$.
• $f$ besitzt in $x_0$ den linksseitigen Grenzwert $g$, wenn gilt:
  $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x\in U_{\delta }(x_0)\cap M:$ $(x<x_0⟹f(x)\in U_{\epsilon }(g)).$
  Wir schreiben in diesem Fall $\underset{x\to x_0-0}{lim}f(x)=g$ oder $f(x)\underset{x\nearrow x_0}{⟶}g$.

Manchmal werden auch die Kurzschreibweisen $f(x_0+0):=\underset{x\to x_0+0}{lim}f(x)=g$ bzw. $f(x_0-0):=\underset{x\to x_0-0}{lim}f(x)=g$ benutzt.

Anschaulich ausgedrückt: Beim rechtsseitigen Grenzwert suchen wir die Grenzlage von $f(x)$, wenn $x$ von rechts gegen $x_0$ strebt.

Selbst wenn sowohl ein rechts- als auch ein linksseitiger Grenzwert existiert, braucht es keinen beidseitigen Grenzwert zu geben:

1.11.2. Beispiel.

Die Funktion

$f:\mathbb{R}\setminus \{0\}\to \mathbb{R}:x\mapsto {\displaystyle \frac{|x|}{x}}$ $=\{\begin{array}{ll}-1& \text{ falls }x<0\text{,}\\ \phantom{-}1& \text{ falls }x>0\end{array}$

hat in $x_0=0$ die einseitigen Grenzwerte

$\underset{x\to 0-0}{lim}f(x)$ $=\underset{x\to 0-0}{lim}-1$ $=-1$

$\underset{x\to 0+0}{lim}f(x)$ $=\underset{x\to 0+0}{lim}1$ $=1$.

1.11.3. Definition.

Analog zur bestimmten Divergenz von Folgen 1.4.10 betrachtet man auch bestimmte Divergenz von Funktionen gegen $+\mathrm{\infty }$ oder gegen $-\mathrm{\infty }$.

Wir erweitern die Begriffsbildung, um das Verhalten einer Funktion an den Rändern „im Unendlichen“ zu beschreiben. Wir müssen dabei sicherstellen, dass „$+\mathrm{\infty }$ im Abschluss von $M$ liegt“.

1.11.4. Definition.

Es sei $f:M\to \mathbb{R}$ eine Funktion.

• Ist $M$ nicht nach oben beschränkt, so besitzt $f$ in $+\mathrm{\infty }$ den Grenzwert $g$, wenn gilt
  ${\displaystyle \mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }s\in \mathbb{R}\mathrm{\forall }x\in M:}$ $(s<x⟹f(x)\in U_{\epsilon }(g)).$
  Wir schreiben dann $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=g$.
• Ist $M$ nicht nach unten beschränkt, so besitzt $f$ in $-\mathrm{\infty }$ den Grenzwert $g$, wenn gilt
  ${\displaystyle \mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }S\in \mathbb{R}\mathrm{\forall }x\in M:}$ $(x<S⟹f(x)\in U_{\epsilon }(g)).$
  Wir schreiben dann $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=g$.

• Ist $M$ nicht nach oben beschränkt, so ist $f$ in $+\mathrm{\infty }$ bestimmt divergent gegen $+\mathrm{\infty }$, wenn gilt
  ${\displaystyle \mathrm{\forall }t\in \mathbb{R}\mathrm{\exists }s\in \mathbb{R}\mathrm{\forall }x\in M:}$ $(s<x⟹t<f(x)).$
  Wir schreiben dann $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$.
• Analog definiert man $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$ bzw. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$.

1.11.5. Beispiel.

Die Funktion $f:\mathbb{R}\setminus \{0\}\to \mathbb{R}:x\mapsto \frac{1}{x}$ hat in $+\mathrm{\infty }$ und $-\mathrm{\infty }$ jeweils den Grenzwert $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0$ und $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0$.

Das Verhalten bei $x_0$ = 0 wird beschrieben durch $\underset{x\to 0-0}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$ und $\underset{x\to 0+0}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$.

1.11.6. Beispiel.

Die Funktion $f:\mathbb{R}\setminus \{0\}\to \mathbb{R}:x\mapsto x+\frac{1}{x}$ ist in $+\mathrm{\infty }$ und $-\mathrm{\infty }$ jeweils bestimmt divergent:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$

Das Verhalten bei $x_0$ = 0 wird beschrieben durch $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$.

(Zur besseren Veranschaulichung ist die Winkelhalbierende $y=x$ mit eingezeichnet.)

1.11.7. Beispiel.

Wir betrachten die Funktion $f:M\to \mathbb{R}:x\mapsto x\mapsto {\displaystyle \frac{x^3+2x+1}{3x^3+5}}$.

Dabei ist $M:=\mathbb{R}\setminus \left\{x\in \mathbb{R}|\phantom{x\in \mathbb{R}}\phantom{3x^3=-5}3x^3=-5\right\}$.

Explizit müssen wir den Punkt $x_0:=-\sqrt[3]{\frac{5}{3}}$ ausnehmen.

Eine erste Skizze des Graphen sieht so aus:

Offenbar gilt $\underset{x\to x_0-0}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$ und $\underset{x\to x_0+0}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$.

Was kann man über $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$ oder $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$ sagen?

1.11.9. Definition.

Eine Funktion $f:M\to \mathbb{R}$ heißt linksseitig (bzw. rechtsseitig) stetig in $x_0$ , wenn gilt: $x_0\in M$ und $\underset{x\to x_0+0}{lim}f(x)=f(x_0)$ bzw. $\underset{x\to x_0-0}{lim}f(x)=f(x_0).$

1.11.10. Lemma.

Eine Funktion $f:M\to \mathbb{R}$ ist genau dann stetig in $x_0$, wenn sie links- und rechtsseitig stetig in $x_0$ ist.

In diesem Fall gilt $\underset{x\to x_0-0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0+0}{lim}f(x)[=f(x_0)]$.

(Diese Definition hat natürlich nur für solche Stellen $x_0$ einen Sinn, für die $x_0\in M$ gilt.)