Die Hyperbel-Funktionen (sinh und cosh) und die Exponentialfunktion

(Den Kontext der Nummer 2.2.12 in der HM 2 finden Sie in Abschnitt 2.2.)

Der Sinus hyperbolicus ist definiert als $\sinh x:=\frac{1}{2}({\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x})$;

der Cosinus hyperbolicus als $\cosh x:=\frac{1}{2}({\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x})$.

In der folgenden Skizze können Sie die Stellen $a$ und $b$ bewegen und verfolgen, wie sich (im linken Koordinatensystem) der Graph der Summe ${\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}$ und (im rechten Koordinatensystem) der Graph der Differenz ${\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}$ entwickelt.

Im mittleren System sehen Sie dann die beiden Graphen mit angedeutet (punktiert); die Graphen von $\cosh (x)$ und $\sinh (x)$ ergeben sich durch Halbieren.

Interpretation im Kontext der Linearen Algebra

Was wir hier mit der Exponentialfunktion angestellt haben, ist die Zerlegung als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion: $\exp =\cosh +\sinh$, wobei $\cosh (-x)=\cosh (x)$ und $\sinh (-x)=-\sinh (x)$ für alle $x\in \mathbb{R}$ gilt.

Für Expert*innen:

Es sei $D=(-a,a)$ ein symmetrisches Intervall (meinetwegen mit $a=+\mathrm{\infty }$, also $D=\mathbb{R}$).

Auf dem Vektorraum $\mathcal{F}$ aller reell-wertigen Funktionen mit festem zu Null symmetrischem Definitionsbereich $D$ (also mit $-D=D$) haben wir die Abbildung

$S:\mathcal{F}\to \mathcal{F}:f\mapsto Sf,$

wobei die Funktion $Sf$ gegeben ist durch $Sf:D\to \mathbb{R}:x\mapsto f(-x)$.

Diese Abbildung $S$ ist eine lineare Abbildung.

Sie hat die Eigenwerte $1$ und $-1$, die zugehörigen Eigenräume sind die Räume $V(1)=\left\{f\in \mathcal{F}|\phantom{f\in \mathcal{F}}\phantom{\mathrm{\forall }x\in D:f(-x)=f(x)}\mathrm{\forall }x\in D:f(-x)=f(x)\right\}$ aller geraden Funktionen und $V(-1)=\left\{f\in \mathcal{F}|\phantom{f\in \mathcal{F}}\phantom{\mathrm{\forall }x\in D:f(-x)=-f(x)}\mathrm{\forall }x\in D:f(-x)=-f(x)\right\}$ aller ungeraden Funktionen.

Die Abbildung $s$ ist diagonalisierbar: Jedes Element von $\mathcal{F}$ ist Linearkombination von Eigenvektoren, mit anderen Worten: Jede Funktion in $\mathcal{F}$ ist Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion.

Diese Zerlegung bekommen wir immer so wie oben für $\exp$:

Für $f\in \mathcal{F}$ setzen wir $f^{+}$ fest durch $f^{+}(x)=\frac{1}{2}(f(x)+f(-x))$ und $f^{-}$ durch $f^{-}(x)=\frac{1}{2}(f(x)-f(-x))$.

Dann ist $f^{+}$ eine gerade Funktion, und $f^{-}$ ist eine ungerade Funktion, und ganz offensichtlich gilt $f=f^{+}+f^{-}$.

Was diese beiden Funktionen mit einer Hyperbel zu tun haben (also: warum die "hyperbolicus" heißen), finden Sie hier.

Die Umkehrfunktion zu $\sinh$ heißt $\mathrm{arsinh}$ (area sinus hyperbolici). Was das mit einer Fläche (area) zu tun hat, erfahren Sie hier.