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0.3 Der Körper \(\CC\) der komplexen Zahlen

Auch die reellen Zahlen reichen noch nicht aus.

Zum Beispiel hat zwar das Polynom \(X^2-2\) eine reelle Nullstelle (sogar zwei: die — irrationalen — Zahlen \(\sqrt2\) und \(-\sqrt2\)), aber das Polynom \(X^2+1\) hat noch keine Nullstellen.

Wir werden als Nächstes den Zahlenbereich so erweitern, dass jedes nicht konstante Polynom eine Nullstelle hat.

0.3.1 Konstruktion

Auf der Menge aller geordneten Paare reeller Zahlen setzen wir die folgenden Operationen fest:

\( \begin{array}{rl} (a,b)+(x,y) &:= (a+x,b+y) \\ (a,b)\cdot(x,y) &:= (ax-by,ay+bx) \,. \end{array} \)

Wir setzen außerdem \(\I:=(0,1)\) und identifizieren \(1\) mit \((1,0)\). Dies führt zur Schreibweise \(a+b\I\) für \((a,b)=a\,(1,0)+b\,(0,1)\).

Den so gewonnenen Rechenbereich nennt man den Körper \(\CC\) der komplexen Zahlen

Für \(w:=a+b\I\in\CC\) (mit \(a,b\in\RR\)) nennt man \(\Re w:=a\) den Realteil und \(\Im w:=b\) den Imaginärteil von \(w\).

0.3.2 Eigenschaften der komplexen Zahlen

Es seien \(a,b,x,y\in\RR\).

  1. Man kann die Elemente von \(\RR\) mit denen der Form \(a+0\I\) identifizieren (die Rechenregeln sind dieselben).
  2. \((a+b\I)+(x+y\I)=(a+x)+(b+y)\I\)

    \((a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)\)

  3. \((a+b\I)\cdot(x+y\I)=(ax-by)+(ay+bx)\I\)

    \((a,b)\cdot(x,y)=(ax-by,ay+bx)\)

  4. insbesondere: \(\I^2=-1\)

    \((0,1)\cdot(0,1)=(-1,0)\)

  5. \(a\cdot(x+y\I)=ax+ay\I\).
  6. \((a+b\I)(a-b\I)=a^2+b^2 \blau{{}+0\I}\) kann als reelle Zahl \(a^2+b^2\) interpretiert werden (sogar als Element von \(\RR^+_0\)).
Wir schreiben \(\Bar{a+b\I}:=a-b\I\) und nennen \(\Bar z\) die zu \(z\) komplex konjugierte Zahl.

0.3.3 Ring- und Körperaxiome

Eine Menge \(R\) mit zwei Operationen~\(+\) und~\(*\) heißt ein Ring, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

Ein Ring \((R,+,*)\) heißt Körper, wenn außerdem gilt:

Meistens schreibt man \(0\) statt \(\orange{n}\) und \(1\) statt \(\orange{e}\).

Diese Axiome beschreiben die Grundregeln, nach denen wir algebraische Terme umformen können. Jede kompliziertere Umformung muss sich auf diese Axiome zurückführen lassen.

Diese Grundregeln gelten auch in vielen anderen Bereichen (in denen man also wie mit Zahlen rechnen kann). Wir geben einige Beispiele, weitere (etwa gewisse Mengen von Matrizen) lernt man in der linearen Algebra kennen:

0.3.4 Beipiele

  1. \((\ZZ,+,\cdot)\) ist ein Ring.
  2. \((\QQ,+,\cdot)\) ist ein Körper.
  3. \((\RR,+,\cdot)\) ist ein Körper.
  4. \((\CC,+,\cdot)\) ist ein Körper.
  5. Die Menge \(\Pol{}\RR\) aller Polynome mit Koeffizienten aus \(\RR\) ist ein Ring.
  6. Die Menge \(\Pol{}\CC\) (Polynome mit Koeffizienten aus \(\CC\)) ist ein Ring.
  7. Die Menge \(\Pol{}\ZZ\) (Polynome mit Koeffizienten aus \(\ZZ\)) ist ein Ring.

0.3.5 Komplexe Konjugation, Betrag

Für \(z=a+b\I\in\CC\) mit \(a,b\in\RR\) setzen wir Skizze zur Komplexkonjugation

0.3.6 Mehr Eigenschaften der komplexen Zahlen

Seien \(z,w\in\CC\).

0.3.7 Konsequenz aus der Dreiecksungleichung

Es seien \(z_1,z_2\in\CC\). Aus \(|z_1|=|z_1+\blau{z_2-z_2}| \le|z_1+z_2|+|-z_2| \) ergibt sich:

\( \left|\strut|z_1|-|z_2|\right|\le|z_1+z_2| \).

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